Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/analiz2_1.ps Дата изменения: Wed May 6 17:39:48 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:21:03 2009 Кодировка: koi8-r

Математический анализ, 1 курс 12.02.2009
1. Топология пространства R n . Непрерывные отображения
Задача 1. Докажите, что любое открытое подмножество R есть объединение не более
чем счетной совокупности попарно непересекающихся интервалов.
Задача 2. Может ли подмножество R n быть открытым и замкнутым одновременно?
Задача 3. Докажите, что пересечение любой совокупности замкнутых множеств и объ-
единение конечного числа замкнутых множеств являются замкнутыми множествами. Вер-
но ли второе утверждение для бесконечного числа замкнутых множеств?
Задача 4. Докажите, что любое замкнутое подмножество R n является пересечением по-
следовательности открытых множеств, а любое открытое подмножество R n | объедине-
нием последовательности замкнутых множеств.
Определение. Пусть E { векторное пространство над R. Функция # · # : E # [0; +#)
называется нормой на E, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) #x + y# # #x# + #y# для всех x; y # E;
2) #x# = ||#x# для всех  # R и x # E;
3) #x# = 0 только при x = 0.
Если #·# | норма на E, то на E можно определить расстояние (метрику) d(x; y) = #x-y#,
которое, в свою очередь, порождает топологию на E по той же схеме, что и евклидова
норма на R n (см. лекцию).
Задача 5. Наряду с евклидовой нормой на R n , которая определяется формулой #x# 2 =
## i (x i ) 2 для x = (x 1 ; : : : ; x n ) # R n , введем еще две нормы равенствами #x# 1 = # i |x i | и
#x## = max i |x i |.
1) Покажите, что #x## # #x# 2 # #x# 1 для всех x # R n .
2) Покажите, что для каждого n существуют такие C; D > 0, что #x# 1 # C#x# 2 и
#x# 2 # D#x## для всех x # R n .
3) Укажите наименьшие C; D с этим свойством.
Определение. Пусть # · # # и # · # ## | две нормы на векторном пространстве E. Они
называются эквивалентными, если существуют такие a; b > 0, что a#x# # # #x# ## # b#x# #
для всех x # E.
Из предыдущей задачи следует, что нормы # · # 1 ; # · # 2 и # · # # на R n эквивалентны.
Задача 6. Докажите, что нормы на векторном пространстве эквивалентны тогда и толь-
ко тогда, когда они порождают одну и ту же топологию.
Задача 7. Пусть {x k } # k=1 { последовательность точек R n . Докажите, что следующие
утверждения эквивалентны:
1) lim
k##
x k = x;
2) lim
k##
d(x k ; x) = 0;
3) lim
k##
x i
k = x i для всех i = 1; : : : ; n;
4) для любого открытого множества U # x существует такое N # N, что x k # U для
всех k > N .

Задача 8. 1) Пусть A # R n . Докажите, что x # A тогда и только тогда, когда x = lim
k##
x k
для некоторой последовательности {x k } из A.
2) Докажите, что множество U # R n открыто тогда и только тогда, когда для любой
последовательности {x k }, сходящейся к x, найдется такое N # N, что x k # U для всех
k > N .
Задача 9. Докажите, что из любого открытого покрытия любого множества A # R n
можно выбрать не более чем счетное подпокрытие.
Задача 10. Докажите, что подмножество K # R n компактно тогда и только тогда, когда
каждая последовательность его точек содержит подпоследовательность, имеющую предел
в K.
Задача 11. Пусть E # R n . Докажите, что отображение f : E # R m непрерывно в точ-
ке x # E тогда и только тогда, когда оно переводит любую последовательность в E,
сходящуюся к x, в последовательность, сходящуюся к f(x).
Задача 12. Докажите, что отображение f = (f 1 ; : : : ; f m ) : E # R m непрерывно тогда и
только тогда, когда все функции f 1 ; : : : ; f m непрерывны.
Задача 13. Постройте такую функцию f : R 2
# R, что f(0; 0) = lim
t#0
f(t; kt) =
lim
t#0
f(kt; t) = 0 для любого k # R, но f разрывна в точке (0; 0).
Задача 14. Докажите, что функция f : [a; b] # R непрерывна тогда и только тогда, когда
она переводит каждый отрезок в отрезок и прообраз каждой точки замкнут.
Задача 15. Пусть K # R n | компакт, f : K # R m | непрерывное инъективное отобра-
жение. Докажите, что отображение f -1 : f(K) # K непрерывно.
Задача 16. Докажите, что любые две нормы на R n эквивалентны.
Определение. Множество A # R n называется линейно связным, если для любых двух
точек a; b # A найдется такое непрерывное отображение (путь) : [0; 1] # A, что (0) = a
и (1) = b. Подмножество U # A называется относительно открытым (или открытым
в A), если U = A # V для некоторого открытого множества V # R n . Множество A
называется связным, если оно не представимо в виде объединения двух своих непустых
относительно открытых подмножеств.
Задача 17. Докажите, что отрезок [a; b] связен и линейно связен.
Задача 18. Докажите, что линейно связное множество связно.
Задача 19. Пусть есть график функции y = sin(1=x), где 0 < x # 1. Рассмотрим мно-
жество, равное объединению с отрезком [-1; 1] оси Oy. Докажите, что это множество
связно, но не линейно связно.
Задача 20. Опишите все связные подмножества R.
Задача 21. Докажите, что непрерывный образ связного (соответственно, линейно связ-
ного) подмножества R n связен (соответственно, линейно связен).
Задача 22. Докажите что для открытых подмножеств R n связность эквивалентна ли-
нейной связности.
Определение. Открытое связное подмножество R n называется областью.
Задача 23. Придумайте две ограниченные области U и V в R 2 , удовлетворяющие усло-
виям U # V = # и @U = @V .