Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/analiz2_exam1.ps Дата изменения: Sun Feb 28 17:33:45 2010 Дата индексирования: Fri Apr 9 12:40:37 2010 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Математический анализ, 1 курс 14.05.2009
Экзамен
Задача 1. Эллиптические координаты (; ) связаны с декартовыми (x; y) формулами
x = a cos ; y = b sin (a; b | константы). Найдите якобиан перехода от полярных
координат (r; ') к эллиптическим как функцию полярных координат. [Напоминание: яко-
биан | это определитель матрицы Якоби.]
Задача 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x; y; z) = y 2
- x 2 +
x 4 + 3z 2 в полушарии {(x; y; z) # R 3 : x 2 + y 2 + z 2 # 9; z # 0}.
Задача 3. Пусть U # R n | открытое множество и ' # C # (U) | однородная функция
степени  # R (это означает, что '(tx) = t  '(x) для всех x # U и t > 0 таких, что tx # U ).
1) Докажите, что для всех x # U и всех p # N справедлива формула (по поводу мульти-
индексных обозначений см. листок 3)
#
||=p
D  '(x)
!
x  = C p '(x);
где C p | некоторая константа. Найдите ее.
2) Докажите, что если ' # C # (R n ) и  # N, то ' | однородный многочлен степени .
Задача 4. 1) Пусть f | ограниченная неотрицательная невозрастающая функция на
[0; +#). Докажите, что несобственные интегралы
+#
# 0
f(x) dx и
+#
# 0
| sin x|f(x) dx
существуют или не существуют одновременно.
2) Покажите, что двумерный аналог этого утверждения неверен на примере интегралов
+#
# 0
+#
# 0
dx dy
e xy ln(x + y + 2)
и
+#
# 0
+#
# 0
| sin x|| sin y|
e xy ln(x + y + 2) dx dy
(докажите, что один из них существует, а другой | нет).
Задача 5. Пусть U | открытое множество в R n , ' : C # (U) # R | гомоморфизм алгебр
(т.е. линейный функционал, удовлетворяющий условию '(ab) = '(a)'(b) для всех a; b), не
равный тождественно нулю. Докажите, что существует такая точка a # U , что '(f) =
f(a) для всех f # C # (U) 1) для выпуклого U ; 2) для произвольного U .
Задача 6. Пусть #  n | сходящийся ряд,  n > 0. Докажите, что множество
# x # (0; 1) : # # x - p
q # # <
 q
q
для бесконечного множества пар p # Z; q # N #
имеет нулевую меру.
Задача 7. Пусть K | компакт в R n , ' : K # K | отображение, удовлетворяющее
условию d('(x); '(y)) # d(x; y) для всех x; y # K.
1) Докажите, что для каждого x # K и каждого " > 0 найдется такое k # N, что
d(x; ' k (x)) < ".
2) Докажите, что ' изометрично и сюръективно.