Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s10/complan_01.ps Дата изменения: Thu Feb 18 22:57:53 2010 Дата индексирования: Thu Apr 8 16:31:26 2010 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 43

Компл. Ан. 2010 Семинар 1 @ 11.02.10
Комплексные ряды vs. Вещественные ряды
Задача 1. a) Пусть радиус сходимости ряда
# # i=0 a i x i , a i # R, равен R. Докажите, что
ряд # # i=0 a i z i абсолютно сходится при |z| < R и расходится при |z| > R.
b) Докажите, что ряд
# # i=0 a i z i , a i # C, сходится при |z| < R и расходится при |z| > R для
некоторого 0 # R # #.
c) Что можно сказать об области сходимости ряда
# # i=-# a i z i при a i # C?
d) Докажите, что такие ряды определяют (во внутренних точках своей области сходимо-
сти) дифференцируемую функцию комплексной переменной.
Задача 2. Постройте степенной ряд,
a) расходящийся на всей границе области сходимости;
b) сходящийся на всей границе области сходимости;
c) расходящийся ровно в n точках на границе области сходимости, n > 0;
d # ) расходящийся в сч?тном множестве точек на границе области сходимости.
Задача 3. a) Докажите, что ряд exp(z) =
# # i=0 z n /n! сходится при любом комплексном z.
b) Вычислите d exp(z)/dz.
c) Докажите, что exp(z 1 + z 2 ) = exp(z 1 ) exp(z 2 ).
d) Докажите, что exp(a + bi) = exp(a)(cos(b) + i sin(b)) для a, b # R.
Задача 4. a) Выразите sin(z) = z - z 3 /3! + z 5 /5! - . . . и cos(z) = 1 - z 2 /2! + z 4 /4! - . . . ,
используя комплексные числа, exp(z) и арифметические действия.
b) Найдите область значений функций exp(z), sin(z), cos(z).
Задача 5. a) Пусть f(z) =
# # i=0 a i z i , a i # C. Определим периодическую функцию веще-
ственной переменной #(t) = f(exp(it)). Разложите #(t) в ряд Фурье.
b) Аналогичный вопрос для f(z) =
# # i=-# a i z i , a i # C.
Задача 6. a) Найдите область сходимости ряда ln(1 + z) = z - z 2 /2 + z 3 /3 - . . . .
b) Вычислите d ln(z)/dz.
c) Докажите, что exp(ln(z)) = z, ln(exp(z)) = z там, где левая часть определена.
d) На какую область можно продолжить ln(z) с сохранением этого свойства?
Задача 7. a) Выразите arctg(z), используя комплексные числа, ln(z) и арифметические
действия. На какой области он может быть определ?н?
b) Выразите arcsin(z), используя комплексные числа, ln(z), # z и арифметические дей-
ствия. На какой области он может быть определ?н?