Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s10/difgem10.ps Дата изменения: Wed Apr 14 18:03:55 2010 Дата индексирования: Sat Jun 26 03:29:44 2010 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Листок 10.
Геодезические. 12.04.2010.
Задача 1. Пусть X такое векторное поле, что #XX = 0. Доказать, что
любая интегральная кривая 1 векторного поля X является геодезической.
Задача 2. Построить пример такого риманова многообразия M и точки
A # M, что экспоненциальное отображение exp A : TAM -# M не является
a) сюръективным, b) инъективным.
Заметим, что если M не связно, то экспоненциальное отображение оче-
видно не сюръективно. Поэтому в пункте a) интересно придумать пример
со связным многообразием M.
Задача 3. Докажите, что в геодезических координатах, центрирован-
ных в точке p, символы Кристоффеля в точке p обращаются в ноль (в
других точках, в общем-то, это неверно).
Задача 4. Докажите, что центрированные в точке p координаты x 1 , . . . , x n ,
определ?нные в окрестности U, являются геодезическими координатами,
центрированными в точке p, тогда и только тогда, когда # i
jk x j x k
# 0 тож-
дественно по x 1 , . . . , x n в U. Указание. Обратите внимание на то, что
в геодезических координатах, центрированных в точке p, геодезические,
проходящие через точку p, имеют вид x i = a i t.
Задача 5. Интегрируя уравнение геодезических, найти все геодезиче-
ские на плоскости Лобачевского как непараметризованные кривые. Можно
взять любую из моделей плоскости Лобаческого, например верхнюю по-
луплоскость с метрикой dx 2 + dy 2
y 2 . Указание. Найдите два интеграла ис-
ходной системы из двух дифференциальных уравнений второго порядка и
используйте их для понижения порядка. Вы получите два уравнения, да-
ющие dx
dt
и dy
dt
. Выпишите тогда уравнение для dy
dx
и решите его.
Задача 6. Докажите, что в полугеодезических координатах x 1 , . . . , x n ,
то есть в таких координатах, в которых метрика имеет вид
#
1#i,j#n-1
g ij dx i dx j + (dx n ) 2 ,
кривые x 1 = const, . . . , x n-1 = const являются геодезическими с параметром
t = x n .
Задача 7. Докажите, что геодезическая exp p (tv) и геодезическая сфера
exp p (S # ), где S # = {v # T p M ||v| = #}, всегда ортогональны друг другу.
Как при помощи этого наблюдения ввести полугеодезические координаты
в окрестности точки p?
1 Для тех, кто забыл анализ на многообразиях, напомним, что интегральной кривой
векторного поля X называется такая кривая, что в каждой е? точке вектор скорости
кривой равен значению векторного поля X в этой точке.