Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/alg2tasks_02.pdf Дата изменения: Thu Feb 17 19:45:06 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:12:04 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Алге бра 2

Тензоры
Задача 1 . Пусть A { коммутативное кольцо, M { A-модуль, а I


14.02.2011 Листок 2

A { идеал. Определим I M как подмодуль в M , порождённый элементами im; i I ; m M . a) Докажите, что M A (A=I ) M =I M . b) Всегда ли I M I A M ? c) Для модулей M M и N докажите, = = (M N )=(M N ). d) Опишите A=I A A=J , где I ; J A { идеалы. что (M =M ) N = Задача 2. Тензоры типа (1; 2) { это билинейные ото бражения V в V V , т.е. умножения на V . a) Запишите для тензора aij k ei ej ek условия коммутативности, ассоциативности, условие того, что e1 { единица. b) Запишите тензоры, соответствующие R-алге брам C и Mat2 (R). c ) Опишите алге бру, заданную тензором
S3

(-1) e

(2) e(3) (1) e

:

В остальных задачах этого листка мы считаем, что V { конечномерное векторное пространство над полем характеристики 0. Задача 3. a) Докажите, что T k V = S k V k V Ak (V ), где Ak (V ) = ker Alt ker Sym. b) Напишите соответствующее разложение для тензора e1 e1 e2 + e1 e2 e4 . c) Какова размерность Ak (V )? Задача 4 (Производная). Вычислите композиции следующих ото бражений:
S k V T k V (T k-1 V ) V (S = k V T k V (T k-2 V ) V V (S S =
k-1 k-2

V ) V ; V ) V V :

Для x T k V , T l V при k l определим x как последовательную свёртку x по (1; 1); (2; 2); : : : ; (l; l) индексам, это элемент T l-k V . Пусть x k V . Задача 5 . a) Пусть векторы v1 ; : : : ; vr линейно независимы. Тогда i x vi = 0 x = v1 : : : vr : : :. b) Пусть ковекторы f1 ; : : : ; fr линейно независимы. Тогда i x fi = 0 x f1 ; : : : ; f r . Задача 6. a ) Докажите, что 2-вектор x разложим x x = 0. b) Докажите, что все тензоры в n-1 V разложимы, где n = dim V . Рангом x k V называется минимальное d такое, что x k U , где U V { d-мерное подпространство. Определим Ann x = {f V | x f = 0}. Задача 7. a) Докажите, что rk x = k x разложим, в противном случае rk x > k. b ) Докажите, что rk x + dim Ann x = dim V . c) Как связаны ранг 2-вектора aij ei ej и ранг матрицы (aij )? d) Каким может быть ранг 2-вектора? e) Пусть x k V ; y l U . Чему равен ранг x y k+l (V U )? При k = l, чему равен ранг x + y k (V U )? f ) Каким может быть ранг k-вектора? Задача 8. a) Докажите, что ото бражения x - : V k-1 V и x - : k-1 V V двойственны друг другу (с точностью до знака). b) Как связан ранг этих ото бражений с рангом x? c) Докажите, что x разложим (x ) x = 0 для любого k-1 V . Квадратичные уравнения (x )x = 0, задающие множество разложимых k-векторов, называются уравнениями Плюккера.