Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/alg2tasks_10.pdf Дата изменения: Fri Apr 15 19:29:28 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:13:30 2013 Кодировка: koi8-r

Алге бра 2

Абелевы расширения
Задача 1. a) Пусть

11.04.2011 Листок 10

Пусть n C о бозначает первоо бразный корень степени n из 1. b ) Докажите, что при взаимно простых m и n произведение m n { первоо бразный корень из 1 степени mn, причём так получаются все первоо бразные корни степени mn. c ) Докажите, что при взаимно простых m и n имеем
Q[m ]Q[n

k K { абелево расширение Галуа степени n, где n = pa1 : : : pak . 1 k Докажите, что найдутся расширения Ki K такие, что Ki (K1 : : : Ki-1 Ki+1 : : : Kk ) = k, K = K1 · : : : · Kk и [Ki : k] = pai . i

] = Q[mn ]

и

Q[m ] Q[n

] = Q:

k K { расширение Галуа, char k = 2. Рассмотрим F K { подполе, порождённое всеми K такими, что 2 k. Покажите, что F =k { расширение Галуа и опишите Gal(F; k) в терминах Gal(K; k).

Задача 2. Пусть

Задача 3. Пусть Q[p ]=Q { круговое расширение, где p > 2 { простое число. Рассмо-

трим подгруппу H Z=(p - 1)Z Gal(Q[p ]; Q) = G индекса два и соответствующее = расширение K = Q[p ]H над Q степени 2. Пусть (p ): s= (p ) -
H G\H

a) Докажите, что s K; s2 Q. b) Докажите, что s2 = -1 · p. p c) Докажите, что любое расширение поля Q степени 2 лежит в некотором поле Q[n ]. Задача 4. Пусть p N { простое число, а n N взаимно просто с p. a) Покажите, что в Fp есть первоо бразные корни степени n из 1. b) Чему равно их количество? c) Чему равна их степень как алге браических элементов над Fp ? Будет ли круговой многочлен n (x) неприводим над Fp ? Задача 5. Пусть p и q { различные простые числа, не равные 2, а Fq { первоо бразный корень степени p из 1. Положим
s=
xF p

x · x Fq ; p

где символ Лежандра a) Проверьте, что s2 =

x p

= x 2 равен 1, если x { квадрат в Fp , и -1 в противном случае. -1 p · p.
q
-1

p-1

b) Покажите, что p { квадрат по модулю q титтк s -1 = s p q =s· q . c) Покажите, что s p d) Выведите из предыдущего квадратичный закон взаимности:
q p = · (-1) p q
p-1 q-1 22

p

.

: