Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/ryzhov-lect6.pdf Дата изменения: Tue May 17 14:16:54 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:21:17 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Ренормализация и универсальность Фейгенбаума - 6

В этой лекции мы вернемся к квадратичному семейству fc (z) := z2 + c, в котором происходит каскад бифуркаций удвоения периода, и применим к нему технику предыдущих двух лекций, рассматривая его как ^ отображение сферы Римана C в себя а c как комплексный параметр.
Часть 1. Множество Мандельброта

определение квадратичного семейства компоненты множества Мандельброта и бифуркации удвоения периода

МноМандествоа Мандельброта ж ельброт характеризация параметров множества

21.03.2011

Начнем с еще одного следствия из теоремы о растяжении множества Жюлиа. P Число притягивающих периодических точек рационального отображения g(z) = Q((z)) z не превосходит deg P + deg Q. Доказательство. Посткритическое множество содержит все притягивающие периодические точки. Значит, каждая притягивающая периодическая точка притягивает некоторую критическую. Количество критических точек в C не превосходит числа решений уравнения g (z) = 0, то есть deg P + deg Q - 1; значит, их число в ^ C не больше deg P + deg Q. Квадратичное отображение fc имеет две критические точки 0 и (последняя неподвижная и суперпритягивающая). Множеством Мандельброта M C называется множество таких параметров c, что критическая точка 0 отображения fc не принадлежит бассейну притяжения бесконечности. Эквивалентным условием (эквивалентность определений мы докажем в следующей лекции) является связность множества Жюлиа. (характеризация параметров квадратичного семейства) Для каждого отображения из квадратичного семейства fc выполнен ровно один из следующих случаев: (1) Нуль принадлежит бассейну притяжения бесконечности. Имеется лишь одна область притяжения. Множество Жюлиа состоит из несчетного числа компонент связности. (2) Существует притягивающая периодическая точка, отличная от бесконечности, которая притягивает нуль. Множество Жюлиа связно и является границей двух областей притяжения. (3) Нуль лежит в множестве Жюлиа. Множества параметров c, соответствующие первым двум случаям, открыты. Множество Мандельброта M замкнуто и является дополнением до первого из них. Отображение fc гиперболично в первых двух случаях и негиперболично в третьем. Доказательство. Согласно предыдущему предложению, у отображения имеется не более двух периодических притягивающих орбит. Одна из них . 1. Если обе критические точки к ней притягиваются, то второй притягивающей орбиты нет. Тогда параметр c не лежит в множестве Мандельброта, и множество Жюлиа несвязно в силу второго определения множества M . Докажем тогда, что оно имеет несчетное количество компонент связности. Действительно, пусть J = J0 J1 , где Ji непересекающиеся непустые компактные подмножества. Тогда они оба бесконечны, так как множество Жюлиа не имеет изолированных точек. Докажем, что J0 не является связным. Действительно, выберем открытое множество U , которое пересекает J0 , но не пересекает J1 . Тогда по теореме о транзитивности, некоторый его образ f n (U ) должен пересекать оба множества, иначе U лежало бы в множестве Фату по теореме Монтеля. Но тогда, в силу инвариантности множества Жюлиа, f n (J0 ) пересекает оба множества. Поэтому J0 может быть представлено в виде объединения непустых компактных подмножеств
Предложение 1.1. Определение 1.2. Предложение 1.3 .

1


2

и J01 = J0 f -n (J1 ). Аналогичным образом строятся непустые компактные подмножества для любой последовательности (tk ) нулей и единиц. Каждое их бесконечное пересечение, соответствующее бесконечной последовательности нулей и единиц, не пересекается с остальными, непусто и содержит по меньшей мере одну компоненту связности. 2. Если нуль притягивается к другой периодической орбите, то множество Жюлиа связно в силу эквивалентности определений и является границей притяжения двух точек согласно пункту (ii) следствия теоремы о транзитивности (лекция 4). 3. Пусть нуль не притягивается ни к одной из периодических точек. Если бы он не лежал в множестве Жюлиа, то посткритическое множество не пересекалось бы с множеством Жюлиа, и отображение было бы гиперболичным. Это противоречит бы тому, что каждая критическая точка гиперболического отображения стремится к притягивающему циклу. Оставшиеся утверждения очевидны.
J00 = J0 f -n (J0 ) Jt1 t2 ...tn
Часть 2. Компоненты множества Мандельброта и бифуркации удвоения периода

Компоненты, которые видны на изображении множества Мандельброта (см. рисунок на лекции или картинку из интернета), соответствуют второму случаю предложения 1.3. В частности, самая большая область множества Мандельброта представляет собой множество тех значений параметра, для которых есть устойчивая периодическая орбита периода 1 (неподвижная точка). Граница области значений параметра c, для которых нуль притягивается к устойчивой неподвижной точке под действием отображения fc, представляет собой кардиоиду кривую, которую прочерчивает фиксированная точка окружности, катящаяся по неподвижной окружности того же радиуса. Доказательство. В этом случае обе окружности имеют радиус 1/4, и неподвижная имеет центр в точке 0. Действительно, если отображение имеет неподвижную притягивающую точку, то c = b(24-b) для некоторого b (b мультипликатор в неподвижной точке). Граница задается той же формулой для b из единичной окружности. Если перейти в систему координат, в которой вторая окружность вращается на месте, то ее точка задается формулой c = 2-b . Отсюда c = b(24-b) . 4 Круги на множестве Мандельброта соответствуют притягиванию нуля к периодическим орбитам больших периодов (см. также задачи экзамена). Из доказательства предложения видно, что самая левая точка кардиоиды соответствует мультипликатору -1, и в этой точке для вещественного отображения fc происходит бифуркация удвоения периода. Круги из множества Мандельброта, пересекающие вещественную ось, соответствуют наличию периодических орбит периода 2k , и отношение радиусов соседних кругов стремится к (константа Фейгенбаума).
Предложение 2.1.