Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s12/Petuhov-lect6-18032012.pdf Дата изменения: Fri Mar 30 18:45:39 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:46:59 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Диаграмма ньютона. Основная теорема алгебры в дифференциальных операторах.

Обозначим через C[xQ ) множество выражений вида i i a( d ) x( d ) ,
iZ
n

где d Z>0 произвольное число. Это множество наделяется естественной структурой C-алгебры и является относительно него полем.
Упражнение 1.

Покажите, что алгебраическое замыкание C[x) изоморфно C[xQ ) (cм. википедию).

Положим C[x , xQ ) := C[x , x] C[x] C[xQ ), C[x , x) := C[x , x] C[x] C[x). Заметим, что для всякого a C[x , x) существуют 1) n Z0 , для которого j n для всякой пары (i, j ) N(a); 2) r Z, для которого i r для всякой пары (i, j ) N(a). Следующая теорема есть версия основной теоремы алгебры для дифференциальных операторов одной переменной.
Теорема 1.

Пусть a C[x , x). Тогда

a = f (x - 1 )(x - 2 )...(x - n ),
где f C[x), n степень a, i C[x , xQ ) для всякого i. Нам потребуется следующее определение, представляющее также и самостоятельный интерес. j ~ aij xi x называется выпуклая Определение 2. Преддиаграммой ньютона N(a) оператора a :=
i,j

оболочка в Q2 множества {(i, j )}ai,j

=0

. Множество

N(a) := {(i, j ) Q2 | k Q называется
диаграммой ньютона

0

~ , j Q, для которых (i + r, j ) N(a) и j j + r} Q

2

оператора a.

Упражнение 2.

Покажите, что N(ab) =N(a)+N(b) (cумма минковского) для всяких a, b C[x, x ].

Пусть t1 , ..., ts тангенсы углов наклона касательных направлений к конечным граням N(a), упорядоченные по возрастанию. Набор чисел t1 - 1, ..., ts - 1 назов?м параметрами излома N(a) и обозначим t(a).
Упражнение 3.

Покажите, что ti (a) 0 для любого i и для любого a C[x, x ].

Аналогично определяется N(a) и t(a) для дифференциальных операторов a c коэффициентами в рядах Лорана C[x) и в рядах Пюизо C[xQ ) (им. Victor'a Puiseux).
Упражнение 4.

Покажите, что t(ab) =t(a)t(b) для всяких a, b C[x, x ].

В доказательстве теоремы 1 ключевую роль играют предложения 3 и 4, сформулированные ниже; им посвящ?н остаток лекции.
Предложение 3. Для всякого дифференциального оператора a C[x , x) существует набор a1 , ..., as C[x, x ], для которого a = a1 ...as и 1) t(a) = i t(ai ) (см. упражнение 4); 2) t(ai ) состоит из одного элемента для всякого i; 3) t(ai )
Всякий элемент C[x , x] (соответственно, C[x , x), C[x , xQ )) определяет непрерывный автоморфизм алгебры C[x, x ] (соответственно, C[x , x), C[x , xQ )), заданный формулами

(x) := x,

(x ) := x +

(топология C[x , x) и C[x , xQ ) индуцирована с топологии на C[x) и C[xQ ) соответственно). 1


Предложение 4.

для которого t(

xt(

Пусть a C[x , xQ ) таков, что t(a) состоит из одной точки. Тогда существует ч C, ч a) состоит по крайней мере из двух точек. a)+1

Упражнение 5.

Докажите предложение 4. Выведите из предложения 3 и предложения 4 теорему 1.

Фиксируем t R0 и положим

(t, a) := min (i - (t + 1)j )
aij =0

для всякого a C[x , xQ ).
Упражнение 6.

Покажите, как по функции (ћ, a) : R0 R(t (t, a)) восстановить диаграмму ньютона N(a). Покажите, как по диаграмме ньютона N(a) построить функцию (ћ, a).

Покажите, что а) (t, ab) = (t, a) + (t, b); б) (t, a + b) min( (t, a), (t, b)) для всяких a, b C[x , xQ ) и t R0 .
Упражнение 7.

Пусть a дифференциальный оператор с параметрами излома 0 t1 < ... < ts (s 2). Тогда для любого k < s существует и единственный набор b, c C[x , x), для которого a = bc и 1) t(b) = {t1 , ..., tk }, t(c) = {tk+1 , ..., ts }; 2) c00 = 1, cj 0 = 0 (коэффициент при xj ) для j = 0.
Лемма 5.
Доказательство.

Фиксируем иррациональное число t , для которого tk < t < t

k+1

. Положим

t (i, j ) := (i - (t + 1)j )
для всех i, j R. Обозначим через i0 , j0 элементы Z, для которых t (i0 , j0 ) = (t , a) и a коэффициенты bij , cij вычисляются по следующим рекурентным формулам. (bib jb cic jc )ij , bij = aij - t (ib , jb ) < t (i, j ) t (ic , jc ) + (t , a) < t (i, j ) (bib jb cic jc )i+i0 ,j +j0 ) (j > 1). cij = (ai+i0 ,j +j0 - t (ib , jb ) < t (i, j ) + (t , a) t (ic , jc ) < t (i, j ) Проверку того, что a = bc для b и c заданных таким образом, оставляю читателю.
Список литературы
i0 j0

= 0. Тогда

[Mal] B. Malgrange, Equations dierentielles a coecients polynomiaux. [Ka] Masaki Kashiwara, The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20(1984), 319365.

2