Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s12/Petuhov-lect7-23032012.pdf Дата изменения: Fri Apr 20 19:15:06 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:47:09 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: рпмопмхойе

Локальная классификация Д-модулей. Расширенное соответствие Римана-Гильберта. 1 Локальная классификация.
C[x , xQ ) x , x Q )

Пусть M конечнопорожд?нный Определим автоморфизм на C[
Упражнение 1.

-модуль, формулами
Q

C[xQ )

. Положим .

L := C[x , xQ )/(ћ(x - ))

.

(x) = x,

(x ) = x +

Покажите, что (M ) := M C[x ) L . Пусть = i i xi . Положим (x) := { C[xQ ) | i = 0 i -1}. Перейд?м теперь к локальной классификации Д-модулей. Пусть M C[x , xQ )-модуль, конечномерный как C[xQ )-модуль. Тогда он представим единственным образом в виде (x) (L C[x ) M ) := (x) ( M ), где M C[x , xQ )-модуль с регулярными особенностями для всякого (x). Для доказательства этой теоремы нам потребуется несколько вспомогательных утверждений, большая часть которых принадлежит абстрактной алгебре. Пусть R некоторое кольцо, C полная подкатегория категории R-модулей, в которой все объекты имеют конечную длину. ~~ ~ Пусть M1 , M2 Ob(C ) и Exti (M1 , M2 ) = 0 для любых двух подфакторов M1 модуля ~ 2 модуля M2 и любого i 0. Тогда Exti (M1 , M2 ) = 0 для любого i 0. M1 и M R Пусть SOb(C ) простые объекты категории C . Пусть SOb(C ) разбивается на несколько классов {SOb(C ) } так, что ExtiR (M , M ) = 0, если , , i Z0 , = , M SOb(C ) , M SOb(C ) . Покажите, что всякий объект M Ob(C ) изоморфен M , где все подфакторы M принадлежат SOb(C ) . Напомним, что левый R-модуль M называется циклическим, если M R/I для некоторого левого = идеала I . Пусть M1 , M2 два циклических модуля. Тогда ExtiR (M1 , M2 ) = 0 для i 2. Положим R/b := R/(Rb). а) Покажите, что HomR (R/b, R/c) = {m R/c | bm = 0} и что HomR (R/b, R/c) = 0 если и только если ((bc = b c) (c = rc, b = br)). б) Покажите, что Ext1 (R/b, R/c) = (R/c)/(b(R/c)). R Положим b\R := R/(bR). Покажите, что HomR (R/c, R/b) HomR (b\R, c\R), Ext1 (R/c, R/b) Ext1 (b\R, c\R) = = R R i i Назов?м главной частью = iQ i x ряд iQ i x . Здесь и далее R := C[x , xQ ). Заметим, что R кольцо главных идеалов. а) Пусть C[xQ ) и главная часть = 0. Покажите, что ExtiR (R/(x - ), R/x ) = 0 для любого i 0.
Теорема 1.
Q

Упражнение 2.

Упражнение 3.

Упражнение 4.

Упражнение 5.

Упражнение 6.

-1

Упражнение 7.



Ob(C ) объекты C . подфактор фактор подмодуля

1


б) Пусть

, C[xQ )

для любого i 0. Пусть C категория C[x , xQ )-модулей, которые конечномерны как C[xQ )-модули. Категория C полна в категории R-модулей, а все объекты C артиновы, и, как следствие, цикличны и имеют конечную длину. а) Покажите, что простые объекты категории C изоморфны R/(x -) для C[xQ ). б) Пусть , C[xQ ) таковы, что R/(x - ) R/(x - ). Покажите, что главные части и = совпадают. Упражнение 8 позволяет определить главную часть простого модуля категории C . Назов?м главными частями произвольного модуля категории C главные части его простых подфакторов. Назов?м объект категории C однородным, если он обладает единственной главной частью. а) Покажите, что всякий C[x , xQ )-модуль категории C есть прямая сумма однородQ ных C[x , x )-модулей с попарно различными главными частями. б) Пусть M однородный C[x , xQ )-модуль с главной частью . Покажите, что C[x , xQ )-модуль - (M ) регулярен. в) Завершите доказательство теоремы 1.
Упражнение 8. Упражнение 9.

и главные части и различны. Покажите, что ExtiR (R/(x - ), R/(x - )) = 0

2

Расширенное соответствие Римана-Гильберта.
can v ar

- - Напомним, что всякому весовому C[x , x]-модулю M соответствует набор Qui(M ) := [E F ] (см. лек- - Q цию от 11.03.2012). Имеется взаимнооднозначное соответствие между C[x, x )-модулями с регулярными особенностями и весовыми C[x, x ]-модулями, не имеющими подфакторов, изоморфных C[x, x ]0 [Mal, 2.1]. Таким образом, каждому C[x , xQ )-модулю M с регулярными особенностями соответствует пред- - ставление Qui(M ) := [E --- F ], где отображение can не имеет ядра и 1 + can var невырож- денный оператор на F . Модулю M := M алгебры C[x , xQ ) мы сопоставим набор пространств
can v ar

(F :=

с набором отображений

(x) F

, {E1 , ..., E }

v ar : F F E

,

(x)

)

can : E F F (x)


v ar can := v ar can

Тогда 1) оператор can не имеет ядра для любого (x), 2) оператор 1 + can var End(F ) невырожден, 3) (can var ) (can var ) = 0, если = . Назов?м рангом C[x , xQ )-модуля M его размерность как C[xQ )-векторного пространства. Ранг M совпадает с размерностью F в наборе Qui(M ). Каждому голономному DP -модулю M можно сопоставить 1) набор его особых точек P P1 , 2) набор C[x , xQ )-модулей {Locp M }pP , имеющих одинаковый ранг, 3) набор (x)p главных частей Locp M (с кратностями) для каждого p P . Модулям {Locp M }pP также соответствуют наборы {E,p , can,p , var,p }pP,(x) (здесь can,p , var рассматриваются как отображения из/в одно и тоже пространство F , отождествляемое со слоем M в общей точке). При правильном отождествлении F в точках p P , имеем равенство pP (1 + can v ar)p =IdF . Обратим внимание на то, что выражение pP (1 + can var)pP существенно зависит от порядка сомножителей. Таким образом, мы неявно вводим порядок на точках p P , что соответствует выбору различных систем образующих в 1 (P1 - P ).
1 p

.

,

. Положим

,p

2


(Расширенное соответствие Римана-Гильберта [Mal, 4]) Пусть P конечный набор точек. Описанное выше отображение из категории D(P1 )-модулей, с особенностями в точках P , и фиксированным набором главных частей (x)p для p P , в категорию пространств (F, {E,p }pP,(x) ) с отображениями {E,p ---- F }pP,(x) , удовлетворяющими условиям: -- -- 1) оператор can,p не имеет ядра для любого p P и (x)p , 2) оператор 1 + (can var)p End(F ) невырожден для всякого p P , 3) (can,p var,p ) (can,p var,p ) = 0, для всякого p P , , (x)p , = , 4) pP (1 + can var)pP =IdF , является эквивалентностью категорий.
Теорема 2 .
p can,p p v ar,p

Список литературы

[Mal] B. Malgrange, Equations dierentielles a coecients polynomiaux.

3