Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s12/gasnikov-zadachi-rodin.pdf Дата изменения: Mon Jul 9 21:23:36 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:47:16 2013 Кодировка: Windows-1251

Задачи по геометрическим вероятностям
Александр Родин, МФТИ 4 июня 2012 г.

1

Многоугольник в окружности

Какова вероятность того, что выпуклый

n

-угольник с вершинами, случайно распо-

ложенными на окружности, содержит ее центр?

Источник: Журнал ?Квант?, январь 1991 года, статья ?Геометрические вероятности?, http: // kvant. mccme. ru/ 1991/ 01/ geometricheskie_ veroyatnosti. htm
2 Длина секущих

Найти среднюю длину секущих трехмерного куба - лежащих внутри куба отрезков прямых, проходящих через этот куб. Ребро куба равно

1.

3

Расстояние между точками

Пусть в пространстве

R

n

с евклидовой нормой задан

n

-мерный шар единичного

радиуса. Внутри него имеются две случайные точки с радиус-векторами

r1

и

r

2

соответственно, имеющие равномерное пространственное распределение внутри шара. Найти распределение случайной величины, являющейся средним расстоянием между этими двумя точками

r = |r1 - r2 |. Источник: М. Кендалл, П. Моран, Геометрические вероятности. https: // docs. google. com/ open? id= 0B1ptvF0qUV6hRUVlZlJCaTZWdms
Парадокс Ольберса

4

Рассмотрим звезды, находящиеся на расстоянии, не превышающем

R

от наблюда-

теля. Для простоты будем считать, что все звезды имеют одинаковый диаметр и равномерное пространственное распределение с количеством звезд объема. Показать, что при



на единицу R любой участок неба будет полностью светящимся. Примечание. В действительности такое не наблюдается, поскольку в связи с конечным возрастом Вселенной t = 14 ћ 109 лет ее наблюдаемый радиус ct конечен. Источник: М. Кендалл, П. Моран, Геометрические вероятности.
1


https: // docs. google. com/ open? id= 0B1ptvF0qUV6hRUVlZlJCaTZWdms
5 Формула Крофтона

Пусть N точек независимо распределены в области D n-мерного пространства, P - вероятность того, что фигура F , образованная N точками, обладает определенным свойством, определяемым так, что оно зависит только от взаимного расположения точек, V = m(D) - лебегова мера области D, P1 - вероятность того, что F обладает требуемым свойством для случайных точек в области D1 D. Тогда для малых приращений V
P = N (P1 - P ) V
-1

V

Источник: М. Кендалл, П. Моран, Геометрические вероятности. https: // docs. google. com/ open? id= 0B1ptvF0qUV6hRUVlZlJCaTZWdms
6 Случайные вращения

Показать, что случайное вращение вектора в n-мерном пространстве пространстве эквивалентно действию на него линейного оператора, задаваемого случайной матрицей A S O (n): S O (n) случайные матрицы A и T A имеют одинаковую функцию распределения.
7 Теорема Дворецкого

Доказать, что для любого > 0 и k N существует N = N (k , ) < exp C log21 k , такое, что любое конечномерное банахово пространство (x, ||.||), такое, что dim X > N , существует k -мерное подпространство E , являющеется -евклидовым, т.е. в нем существует такая евклидова норма |.|, что ||x|| |x| (1 + ) ||x|| для всех x E. Источник: В. Д. Мильман, Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел, Функциональный анализ и его приложения, т.5, вып.4, 1971 http: // www. mathnet. ru/ links/ 1aa4d451927dd19a0bd844b8c7b42b7c/ faa2613. pdf
8 Броуновское движение

Рассмотрим двумерное броуновское движение X = (X1 (t) , X2 (t)) на R2 , X (0) = 0. Пусть S (t) случайная площадь, заключенная между броуновской траекторией и отрезком, соединяющим ее начальную и конечную точки. Доказать, что для S (t) имеет место равенство E eiS (t) = 1 t , R.
cosh
2

2


Указаниие: см. Ватанабэ С., Икэда Н., Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы, глава VI Источник: Ватанабэ С., Икэда Н., Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы, глава VI, https: // docs. google. com/ open? id= 0B1ptvF0qUV6hWWE2VlZYQlRmYms
9 Дискретные случайные блуждания Орнштейна-Уленбека

Пусть X = {-N , -N + 1, ..., N - 1, N }, и на этом множестве заданы случайные блуждания с вероятностями перехода
p (k , k ) = 1/2, p (k , k + 1) = 1/4 - k /4N , p (k , k - 1) = 1/4 + k /4N .

Найти кривизну Риччи (x, y ), где x и y произвольные две соседние точки. Указание: см. Yann Ol livier, Ricci curvature of Markov chains on metric spaces Источник: Yann Ol livier, Ricci curvature of Markov chains on metric spaces, http: // www. yann- ollivier. org/ rech/ publs/ curvmarkov. pdf

3