Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s13/analiz2-listok16.pdf Дата изменения: Thu Apr 11 01:15:44 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 15:45:45 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

НМУ, Математический анализ (2-й семестр).

Интеграл Лебега

Листок 16.

29 марта 2013 г.

1. Пусть f (x) измеримая по Лебегу функция, принимающая конечные значения на [-1, 1]. Докажите, что 1 ч fn (x) = f x - - f (x), n , x [0, 1]. n 2. (Теорема Лузина) Докажите, что для того, чтобы функция f (x), заданная на отрезке [a, b], была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовала такая непрерывная на [a, b] функция (x), что

ч{x : f (x) = (x)} < .
Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на на множестве сколь угодно малой меры.

[a, b]

путем ее изменения

3. Пусть ч(X ) < и f сммируемая функция на X . Доказать, что интеграл Лебега может быть вычислен по формуле

X

f (x)dч

f (x)dч = lim
X

(T )0

k ч({x X : tk
k

f

tk

+1

}),

где T = {tk } разбиение вещественной оси, (T ) = supk |tk а {k } любой набор точек, удовлетворяющий условию k интегральной суммой Лебега. 4. Докажите, что, если A f (x)dч = 0 и f (x) 0 при всех x на A. 5. Докажите, что интеграл [a,b] f (x)dч от неотрицательной с мерой Лебега ?криволинейной трапеции?:

- tk+1 | диаметр разбиения T , [tk , tk+1 ]. Выражение называется A, то f (x) = 0 почти всюду
на [a, b] функции f (x) совпадает

f (x)dч = ч{(x, y ) : a
[a,b]

x

b, 0

y

f (x)}.

6. (а) Путь ч(X ) < . Докажите, что неотрицательная измеримая функция f на X суммируема тогда и только тогда, когда сходится ряд


2 n ч{ x X : f ( x )
n=0

2n }.

(б) Докажите, что неотрицательная ограниченная измеримая функция f на множестве X бесконечной меры суммируема тогда и только тогда, когда сходится ряд
n=0

1 1 ч{ x X : f ( x ) > n } . 2n 2

7 . (Критерий Лебега интегрируемости по Риману) Докажите, что функция интегрируема по Риману на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда она ограничена и почти всюду непрерывна.