Äîęóěĺíň âç˙ň čç ęýřŕ ďîčńęîâîé ěŕřčíű. Ŕäđĺń îđčăčíŕëüíîăî äîęóěĺíňŕ : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s14/complan-s14-sem06.ps Äŕňŕ čçěĺíĺíč˙: Tue Apr 1 17:45:40 2014 Äŕňŕ číäĺęńčđîâŕíč˙: Sun Apr 10 15:48:49 2016 Ęîäčđîâęŕ: Ďîčńęîâűĺ ńëîâŕ: http astrokuban.info astrokuban

kOMPLEKSNYJ ANALIZ. zADA“I K LEKCII 7. 25 MARTA 2014 G.
1. dEJSTWIQ NAD ANALITI“ESKIMI FUNKCIQMI. (a) dLQ KAVDOGO a 2 C
UKAVITE, NA SKOLXKO RAZLI“NYH af NA C n f0g RASPADAETSQ SUMMA ln z + a ln z.
(B) pRIWEDITE PRIMER af F TAKOJ, “TO F = F+1. (C) sU]ESTWUET LI af F 6j 0,
DLQ KOTOROJ 2F = F? (D) pOKAVITE, “TO F(z) = z z ESTX af NA C nf0g S “ISLOM
LISTOW 1, NESMOTRQ NA TO, “TO “ISLO RAZLI“NYH ZNA“ENIJ, PRINIMAEMYH E@ W
TO“KE z = 1=n RAWNO n DLQ n = 1; 2; : : : .
2. oPISANIE TO“EK WETWLENIQ. pUSTX F -- af W OBLASTI D ae C , a 2 @D --
IZOLIROWANNAQ GRANI“NAQ TO“KA. oPISATX OSOBENNOSTX F W TO“KE a -- ZNA“IT
UKAZATX, NA SKOLXKO RAZLI“NYH af RASPADAETSQ F PRI SUVENII NA (LEVA]U@
W D) MALU@ PROKOLOTU@ OKRESTNOSTX TO“KI a I K KAKOMU IZ 5 TIPOW (USTRA­
NIMAQ, POL@S, SU]ESTWENNO OSOBAQ, TO“KA WETWLENIQ n­GO PORQDKA, LOGARIFMI­
“ESKAQ TO“KA WETWLENIQ) PRINADLEVIT a DLQ KAVDOJ IZ ``TIH af. (A) pUSTX
f 2 O(a). pOKAVITE, “TO
p
f(z) IMEET PRI z = a TO“KU WETWLENIQ 2­GO PORQDKA
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA f(z) IMEET PRI z = a NULX NE“ETNOGO PORQDKA.
iNA“E
p
f(z) IMEET PRI z = a DWE USTRANIMYE OSOBYE TO“KI. (w) oPI[ITE WSE
OSOBYE TO“KI (WKL@“AQ 1) SLEDU@]IH af (WYRAVENIJ):
p
z+ 3
p
z,
p
z+ 3
p
z \Gamma 1,
p
1 +
p
z. (C) tO VE DLQ arctg z (SM. LISTOK 3, ZADA“A 1(B)), arcsin z (MOVET PRI­
GODITXSQ FORMULA arcsin z = arctg(z=
p
1 \Gamma z 2 )), 3
p
ln z,
p
1 \Gamma cos z.
3. fORMULA rIMANA--gURWICA. (a) pUSTX P (z; w) -- NEPRIWODIMYJ POLINOM
S KOMPLEKSNYMI KO``FICIENTAMI, A F -- TAKAQ af NA C n fKONE“NOE MNOVESTWOg,
“TO P (z; w) = 0 () w = F(z). pOKAVITE, “TO
2 \Gamma 2g = 2m \Gamma
X
(k j \Gamma 1);
GDE g ESTX ROD ALGEBRAI“ESKOJ KRIWOJ fP (z; w) = 0g, m ESTX “ISLO LISTOW F,
SUMMA BERETSQ PO WSEM OSOBYM TO“KAM F (WKL@“AQ 1), A k j OZNA“AET PORQDOK
WETWLENIQ W j­OJ OSOBOJ TO“KE. (w) wY“ISLITE ROD WO WSEH PRIMERAH PUNK­
TA 2(B), A TAKVE DLQ w =
p
z n \Gamma 1, w = n
p
z 2 + 1, n = 1; 2; : : : ; w = 1
(1+
p
z)(1+ 6
p
z)
.
4. wOZMOVNOSTI I NEWOZMOVNOSTI. (A) pRIWEDITE PRIMER 4­ZNA“NOJ af
NA C n fKONE“NOE MNOVESTWOg, NE IME@]EJ NIGDE (W TOM “ISLE NAD 1) NIKA­
KIH OSOBENNOSTEJ, KROME TO“EK WETWLENIQ 2­GO PORQDKA. (w) dLQ KAKIH N 2
f1; 2; : : : ; 10g SU]ESTWUET af KAK W (A) S ROWNO N TO“KAMI WETWLENIQ? (s) sU­
]ESTWUET LI 4­ZNA“NAQ af NA C n f0; 1g IME@]AQ PRI z = 0 TO“KU WETWLENIQ
3­GO PORQDKA I USTRANIMU@ OSOBU@ TO“KU?
5. wY“ISLENIE ZNA“ENIJ WETWEJ. w ``TOJ ZADA“E L := (\Gamma1; 0], N := [5; +1),
M \Sigma := f1 \Sigma iy j y ? 0g. (a) pUSTX f 2 O(C n L) I f(x) = x x PRI x ? 0.
nAJDITE f(i). (w) pUSTX f 2 O(C n (L [ M+ )) I f(x) = 3
p
x 3 \Gamma x ? 0 PRI
x ? 1. nAJDITE f(1=2). (C) tO VE S ZAMENOJ M+ NA M \Gamma . (D) pUSTX f 2
O(C n(\GammaiL [M \Gamma [N)) I f(x) = ln(2
p
x \Gamma
p
5 \Gamma x) PRI 1 ! x ! 4. nAJDITE f(\Gamma4).
(E) nAJDITE f(\Gammai), ESLI f 2 O(C n (L [ M+ )) I f(x) =
q
ln x
ú
+ ú
ln x
PRI x ? 1.
(F) wY“ISLITX
R ú
0 tg(x + iy) dx DLQ WSEH y ? 0.
6. gOLOMORFNYE KORNI, LOGARIFMY I DRUGIE WETWI. (a) pOKAVITE, “TO NE
SU]ESTWUET f 2 O(0 ! jzj ! 1) TAKOJ, “TO f(z) 2 = z PRI 0 ! jzj ! 1. (w) pUSTX

D ae C -- ODNOSWQZNAQ OBLASTX. pOKAVITE, “TO FUNKCIQ f 2 O(D), f 6j 0, IMEET
WID f = g 2 DLQ NEKOTOROJ g 2 O(D) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA PORQDKI WSEH
NULEJ f W D “ETNY (SR. S ZADA“EJ 2(A)). (C) pUSTX U = fjzj ! 1g. nAJDITE
TAKOE “ISLO A 2 C , “TO WSQKAQ f 2 O(U) S \SigmaA 62 f(U) IMEET WID f = g 3 \Gamma g
DLQ NEKOTOROJ g 2 O(U ). (D) pUSTX f; g 2 O(C ) I f(z) 2 + g(z) 2 = 1 DLQ WSEH
z 2 C . pOKAVITE, “TO f(z) = cos h(z) I g(z) = sin h(z) DLQ NEKOTOROJ h 2 O(C ).
(e) pUSTX D = C n((\Gamma1; \Gamma1] [[1; 1)). pOKAVITE, “TO SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ
f 2 O(D) TAKAQ, “TO f(z) 2 = 1 \Gamma z 2 I f(0) = 1. wYWEDITE, “TO
Z 2ú
0
d`
1 + z sin ` =
2ú
f(z) DLQ WSEH z 2 D:
(F) pUSTX D = C n [\Gamma1; 1], f(z) = z 2 \Gamma 1. pOKAVITE, “TO MOVNO ZAPISATX
f = g 2 DLQ NEKOTOROJ g 2 O(D), NO NELXZQ ZAPISATX f = e h NI DLQ KAKOJ
h 2 O(D). (G) pUSTX ff; fi 2 C . pOKAVITE, “TO af z ff (1 \Gamma z) fi DOPUSKAET
WYDELENIE ODNOZNA“NOJ WETWI NA C n[0; 1] TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ff+ fi 2 Z.
7. iNTEGRALY S MNOGOZNA“NYMI FUNKCIQMI. (A) iNTEGRIRUQ NADLEVA]U@
WETWX af ln(1+iz)
z(z 2 +a 2 ) PO GRANICE OBLASTI fIm z!0; jzj!Rg, NAJDITE
R 1
0
arctg x
x(x 2 +a 2 ) dx
PRI WSEH a ? 0. (B) iNTEGRIRUQ NADLEVA]U@ WETWX af (ln z) 2
1+z+z 2 PO GRANICE OB­
LASTI f''!jzj!R; 0! arg z!2úg, WY“ISLITE
R 1
0
ln x
1+x+x 2
dx. (C) pODOBNYM VE OB­
RAZOM ILI PO­DRUGOMU NAJDITE
R 1
0 ( ln x
x\Gamma1
) 3 dx. (D) iNTEGRIRUQ f(z)
z 2 +a 2 PO GRANICE
OBLASTI fjzj!Rgn[0; 1] (GDE f 2 O(C n[0; 1]) ESTX NADLEVA]AQ WETWX z ff (1 \Gamma z) 1\Gammaff ,
SM. ZADA“U 6(G)), NAJDITE
R 1
0
x ff (1\Gammax) 1\Gammaff
x 2 +a 2
dx DLQ WSEH a ? 0, 0 ! ff ! 1.
8. pRODOLVENIE STEPENNYH RQDOW. pOKAVITE, “TO SLEDU@]IE ROSTKI ZADA­
@T af w = F(z) NA OBLASTQH WIDA D = C n fKONE“NOE MNOVESTWOg, UKAVITE
W KAVDOM SLU“AE NAIBOLX[U@ WOZMOVNU@ OBLASTX D I “ISLO LISTOW F NA D:
(A)
P 1
n=1 n ff z n , ff = 0; 1; 2; \Gamma1; \Gamma2; (w) TO VE DLQ ff = \Gamma1=2 (SM. LISTOK 3, ZA­
DA“A 1(E)); (C) z \Gamma z 3 =3 + z 5 =5 \Gamma : : : (SR. S ZADA“EJ 2(C)); (D)
P 1
n=0
a n z n , GDE
a 0 = 1 I a n+1 =
P n
k=0 a k a n\Gammak PRI n = 0; 1; 2; : : : .