Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/s15/s15-savin-sternin.pdf Дата изменения: Wed Feb 4 04:49:06 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 07:19:04 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: геофизика

Комплексная теория дифференциальных уравнений
Специальный курс
Савин А.Ю., Стернин Б.Ю.

Цель спецкурса дать введение в замечательную область математики комплексную теорию дифференциальных уравнений, т.е. теорию дифференциальных уравнений на комплексных многообразиях (основы этой теории были заложены в работах Жана Лере). Опишем основные черты данной теории. Во-первых, простые примеры показывают, что решения дифференциальных уравнений в комплексной ситуации являются, как правило, ветвящимися функциями и, следовательно, имеют особенности в окрестности точек ветвления. Во-вторых, как известно, при исследовании вещественной теории дифференциальных уравнений в качестве основного аппарата используется аппарат, связанный с преобразование Фурье. К сожалению, в комплексной теории классическое преобразование Фурье не работает и пришлось построить некоторое принципиально новое преобразование, которое позволило эффективно решать не только задачи комплексной теории, но также и решить ряд классических задач вещественной теории, например, проблему Пуанкаре о заметании заряда, проблему о продолжении решений, проблему оптимального синтеза антенн, исследование вычислительных алгоритмов электродинамики, задачи геофизики и др. В рамках данного спецкурса мы познакомим слушателей, во-первых, с комплексной теорией дифференциальных уравнений, а также с рядом классических разделов комплексного анализа и топологии, многомерной теорией вычетов, теорией ветвящихся интегралов, теорией ПикараЛефшеца и др. Спецкурс рассчитан на студентов 3 5 курсов. Программа

1. Многомерные вычеты (вычеты Лере).
и вычеты. Точные последовательности Лере.

Определение. Способы вычисления. Интегралы

2. Ветвящиеся интегралы.

Почему интегралы ветвятся? Примеры. Ветвящиеся циклы. Мно-

гообразие Ландау (видимый контур). Интегралы по относительным циклам.

3. Асимптотики ветвящихся интегралов.

Теория ПикараЛефшеца (ветвление циклов во-

круг многообразия Ландау). Теорема Лере об асимптотике ветвящихся интегралов.

4. Основное интегральное преобразование.
классы гомологий. Примеры.

Определение преобразования. Ветвящиеся

5. Свойства преобразования.

Преобразование в функциональных пространствах. Обратное

преобразование. Коммутационные соотношения. Описание множества особенностей.

6. Задача Коши для уравнений с постоянными коэффициентами.
Решение задачи Коши. Примеры.

Постановка задачи.

7. Особенности решения задачи Коши.

Описание особенностей. Особенности в случае,

когда начальное многообразие стратифицировано.

8. Задача Коши для уравнений с переменными коэффициентами. 9. Приложения теории. Задача о заметании заряда.
Примеры.

Униформизация

Лере. Теорема об униформизации. Распространение особенностей. Асимптотика Лере. Постановка задачи. Решение задачи.

10. Приложения теории. Задача о материнском теле.
Шварца. Алгоритм построения материнского тела.

Постановка задачи. Функция

1