На главную страницу НМУ

А.Колесников, Е.Степанов

Современные вариации на темы оптимального переноса масс

Целью курса является ввести слушателей в круг основных современных идей и приложений, развивающихся вокруг классической задачи об оптимальном переносе массы, сформулированной более 200 лет назад Г.Монжем. Как оказалось, эта задача является весьма глубокой, а разработанные для ее решения инструменты находят свое применение в самых разных областях математики, в частности, в дифференциальной геометрии, метрической геометрии, теории вероятностей, уравнениях в частных производных, геометрической теории меры. Курс представляет собой цикл семинаров на основные современные темы, связанные с теорией оптимального переноса массы.

Краткая программа курса

I. Введение в задачи оптимального переноса массы. (4-6 часов, Е. Степанов)

Классическая задача Монжа. Ослабленная формулировка Канторовича. Вероятностная интерпретация. Квадратичная и линейная задачи. Двойственные формулировки. Связь с уравнениями в частных производных (с разной степенью подробности, возможно, только обзорно: теория Я.Бренье (Y.Brenier). уравнение неразрывности; уравнение переноса массы; уравнение Монжа-Ампера). Существование решений задачи Монжа (решение квадратической задачи, решение линейной задачи в одномерном случае, основная идея решения линейной задачи в общем случае). Метрика Вассерштайна.

II. Неравенства Соболева и вероятностные приложения (4 часа, А. Колесников)

Неравенство Брунна-Минковского. Изопериметрическое неравенство. Неравенства Соболева. Точные константы. Логарифмическое неравенство Соболева. Транспортные неравенства и неравенства концентрации. Выпуклые множества и выпуклые меры. Транспортная задача на многообразиях. Тензор Бакри-Эмери.

III. Касательный формализм и displacement convexity. (2-4 часа, А. Колесников и Е. Степанов)

Пространство мер с расстоянием Канторовича как многообразие. Градиентные потоки. Исчисление Отто (Otto calculus) и приложения к уравнениям математической физики (обзорно).

IV. Геометрические приложения (4 часа, А. Колесников)

Действительное уравнение Монжа-Ампера в геометрии. Потоки гауссовой кривизны и параболическое уравнение Монжа-Ампера. Решение задачи Александрова вариационным методом. Cвязь с потоками Риччи (обзорно).

V. Сети оптимального переноса массы. (4 часа, Е. Степанов)

Потоки Уитни, основные понятия. Дробные массы. Ветвящиеся транспортные сети. Задача оптимальной ирригации. Регулярность оптимальных сетей. Метрики Вассерштайна с дробными показателями.