Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/s10/mass.html
Дата изменения: Mon Feb 1 11:10:33 2010
Дата индексирования: Tue Oct 2 01:58:02 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: массу
|
На главную страницу НМУ
А.Колесников, Е.Степанов
Современные вариации на темы оптимального переноса масс
Целью курса является ввести слушателей в круг основных современных идей и
приложений, развивающихся вокруг классической задачи об оптимальном переносе
массы, сформулированной более 200 лет назад Г.Монжем. Как оказалось, эта задача является весьма глубокой, а разработанные
для ее решения инструменты находят свое применение в самых разных областях
математики, в частности, в дифференциальной геометрии, метрической
геометрии, теории вероятностей, уравнениях в частных производных,
геометрической теории меры. Курс представляет собой цикл семинаров на
основные современные темы, связанные с теорией оптимального переноса массы.
Краткая программа курса
- I. Введение в задачи оптимального переноса массы. (4-6 часов, Е.
Степанов)
- Классическая задача Монжа. Ослабленная формулировка Канторовича.
Вероятностная интерпретация. Квадратичная и линейная задачи.
Двойственные формулировки. Связь с уравнениями в частных производных (с
разной степенью подробности, возможно, только обзорно: теория Я.Бренье
(Y.Brenier). уравнение неразрывности; уравнение переноса массы;
уравнение Монжа-Ампера). Существование решений задачи Монжа (решение
квадратической задачи, решение линейной задачи в одномерном случае, основная
идея решения линейной задачи в общем случае). Метрика Вассерштайна.
- II. Неравенства Соболева и вероятностные приложения (4 часа, А.
Колесников)
- Неравенство Брунна-Минковского. Изопериметрическое неравенство.
Неравенства Соболева. Точные константы. Логарифмическое неравенство
Соболева. Транспортные неравенства и неравенства концентрации.
Выпуклые множества и выпуклые меры. Транспортная задача на многообразиях.
Тензор Бакри-Эмери.
- III. Касательный формализм и displacement convexity. (2-4 часа, А.
Колесников и Е. Степанов)
- Пространство мер с расстоянием Канторовича как многообразие.
Градиентные потоки. Исчисление Отто (Otto calculus) и приложения к
уравнениям математической физики (обзорно).
- IV. Геометрические приложения (4 часа, А. Колесников)
- Действительное уравнение Монжа-Ампера в геометрии. Потоки гауссовой
кривизны
и параболическое уравнение Монжа-Ампера. Решение задачи Александрова
вариационным методом. Cвязь с потоками Риччи (обзорно).
- V. Сети оптимального переноса массы. (4 часа, Е. Степанов)
- Потоки Уитни, основные понятия. Дробные массы. Ветвящиеся транспортные
сети. Задача оптимальной ирригации. Регулярность оптимальных сетей.
Метрики Вассерштайна с дробными показателями.