1999
Осенний семестрЛекция 2 октября
Лектор: Долбилин Н.П.
Тема: Теорема Коши о жесткости многогранников
Эта теорема утверждает, что два выпуклых многогранника,
одинаково составленные из соответственно равных граней, равны.
В частности, теорема Коши объясняет, почему картонная модель
многогранника не деформируется, является жесткой.
Один из крупнейших геометров
ХХ века академик А.Д. Александров писал, что "метод,
которым Коши доказал свою теорему, представляет собой одно из
прекраснейших рассуждений, какие только знает
геометрия...".
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 9 октября
Лектор: Гервер М.Л.
Тема: Числа Каталана и их применение в (3n+1)-проблеме
Дан выпуклый (n+2)-угольник. Разобьем его диагоналями
на n треугольников. Сколькими способами это можно сделать?
Даны 2n точек на окружности. Разобьем эти точки на n пар
так, чтобы соединяющие их n хорд не пересекались друг с другом.
Сколькими способами можно это сделать?
Сколькими способами можно правильно расставить n+1>
"открывающих" и n+1 "закрывающих" скобок?
Эти и ряд других красивых задач приводят к числам Каталана
cn. На лекции будет рассказано о числах cn и о попытке их
применения в (3n+1)-проблеме --- знаменитой задаче,
которую можно сформулировать за минуту и которую не могут решить
уже более 70 лет.
Наверх Лекция 16 октября
Лектор: Шень А.Х.
Тема: Программирование с точки зрения математика
Традиционно считается, что программирование --- важная, нужная,
иногда высокооплачиваемая, но скучная деятельность. На самом деле
это не так: в программировании есть интересные математические задачи и
красивые решения. Мы разберем несколько примеров:
оценки сложности алгоритмов, поиск наибольшего, сортировка,
верхние и нижние оценки, задача о "представителе большинства",
доказательства правильности программ, инварианты, задача о
возведении в степень.
Мы обсудим, что могут и что не могут делать вычислительные
машины, а также одну из труднейших нерешенных задач ---
проблему P=?NP.
Наверх Лекция 23 октября
Лектор: Болибрух А.А.
Тема: Проблемы Гильберта (100 лет спустя)
Знаменитые проблемы, сформулированные Давидом Гильбертом
(1862--1943) на Парижском международном математическом конгрессе
1900-го года, оказали определяющее влияние на развитие
математики XX века. Одна из целей лекции --- показать,
что многие математические проблемы вполне естественны, так что
даже старшеклассник может понять причины появления некоторых из
них. Например, таковы первая, третья, седьмая и десятая проблемы
Гильберта:
1. Существует ли несчетное множество, мощность которого меньше континуума?
3. Всякие ли два тетраэдра равного объема равносоставлены?
7. Может ли число  быть корнем многочлена с целыми коэффициентами?
10. Существует ли алгоритм решения диофантовых уравнений в целых числах?
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 30 октября
Лектор: Тихомиров В.М.
Тема: Великие математики прошлого и их великие теоремы
Будет рассказано о высших математических достижениях Архимеда
(III век до н.э.), Пьера Ферма (1601--1665), Леонарда Эйлера
(1707--1783), Жозефа Луи Лагранжа (1736--1813) и Карла
Фридриха Гаусса (1777--1855).
Такими достижениями являются: формула объема шара,
равенство  , представимость простого числа вида
4n+1 в виде суммы двух квадратов и представимость любого
натурального числа в виде суммы четырех квадратов, а
также построение правильного 17-угольника циркулем и линейкой.
Некоторые из этих и других великих теорем будут даны с
полными доказательствами, а некоторые --- только сформулированы.
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 6 ноября
Лектор: Прасолов В.В.
Тема: Точки Брокара и изогональное сопряжение
Первая точка Брокара треугольника ABC --- это такая точка P, для которой
 ; вторая точки Брокара ---
это точка Q, для которой выполнены аналогичные
равенства  . В любом треугольнике
есть одна первая и одна вторая точки Брокара.
Точки X и Y изогонально сопряжены относительно
треугольника A1A2A3,
если каждая прямая YAi (где i=1,2,3)
симметрична прямой XAi относительно биссектрисы
угла Ai. Например, первая и вторая точки Брокара
треугольника A1A2A3 изогонально сопряжены.
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 13 ноября
Лектор: Шарыгин И.Ф.
Тема: Избранные задачи Соросовских олимпиад
Соросовские олимпиады по математике, физике, химии и
биологии проходили в 1994--2000 годах. Лектор возглавлял
комиссию по математике.
Наверх Лекция 27 ноября
Лектор: Чубариков В.Н.
Тема: Арифметика, алгоритмы и сложность вычислений
Целые числа можно рассматривать как с точки зрения их абсолютной величины,
так и с точки зрения их делимости на степени фиксированного
простого числа (p-адические числа).
Будет показано, как эти свойства применяются в диофантовых уравнениях,
в теории приближения чисел, геометрии чисел и т.д. Будут
приведены некоторые "быстрые" вычислительные алгоритмы,
попутно будет рассказано о введенном А.Н. Колмогоровым
понятии сложности выполнения арифметических операций.
В ходе лекции будут сформулированы некоторые нерешенные задачи
теории чисел, которые поставили Хуа Ло-кен, И.М.Виноградов,
К.Малер, К.Зигель, А.Сельберг и другие.
Наверх Лекция 4 декабря
Лектор: Часовских А.А.
Тема: Где используют графы?
Теория графов --- одна из самых красивых и наглядных
математических теорий. Многие математические факты удобно
формулировать на языке графов, многие задачи сводятся к задачам
о графах. В последнее время теория графов находит все больше
применений и в прикладных вопросах. Об этих применениях пойдет
речь на лекции.
Будет рассказано о "прямоугольной" задаче Штейнера
(построении минимальной сети, соединяющей данные точки между
собой), об устройстве интегральных схем, о том, как машину
обучают распознаванию образов. Будет обсуждена сложность
алгоритма, распознающего изоморфизм графов, а также
упомянуты другие труднорешаемые задачи.
Наверх Лекция 11 декабря
Лектор: Сергеев И.Н.
Тема: Экстраординарные методы решения элементарных задач
Будет рассказно о некоторых мощных, но малоизвестных приемах
решения задач элементарной математики. Сами приемы, хотя и
совершенно правильные, на первый взгляд могут показаться
абсурдными (не всякий учитель согласится признать их верными в
контрольной работе своего ученика!). Использование этих методов
позволяет упростить решения многих задач или, по крайней мере,
наиболее трудоемких их частей.
Речь пойдет о методе интервалов, об экзотических равносильных
преобразованиях, свойствах тригонометрического круга,
преобразованиях геометрических чертежей.
Лекция будет интересна для многих школьников, но
наиболее полезна она абитуриентам.
Наверх Лекция 18 декабря
Лектор: Заславский А.А.
Тема: Теорема Эрроу и нетранзитивные круговые турниры
Существует ли идеальная избирательная система? Неожиданный ответ
на этот вопрос дает теорема о необходимости диктатора,
сформулированная и доказанная американским математиком К. Эрроу.
За этот фундаментальный результат он в 1972 году получил
Нобелевскую премию (по экономике, потому что по математике
Нобелевских премий нет).
Наверх |
