| | |
| 2001
Осенний семестрЛекция 6 октября
Лектор: Соловьев Юрий Петрович
Тема: Неравенства
На лекции будет рассказано о двух замечательных неравенствах: неравенстве о среднем
арифметическом и среднем геометрическом и неравенстве Иенсена.
Неравенство о средних утверждает: если x1,x2,...,xn
- неотрицательные вещественные числа, то
![\begin{displaymath}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}n\ge\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}.\end{displaymath}](lpics\img01.gif)
А неравенство Иоганна Людвига Иенсена (1859-1925) гласит: если функция f выпукла вниз на некотором
интервале, x1,x2,...,xn- точки этого интервала, а
a1,a2,...,an-- положительные числа, сумма которых равна 1, то
Наверх Лекция 13 октября
Лектор: Кушниренко Анатолий Георгиевич
Тема: Многогранники Ньютона и число корней системы алгебраических уравнений
Решая системы алгебраических уравнений с двумя неизвестными,
Ньютон использовал многоугольник, который легко построить, зная
только то, какие одночлены входят в уравнение с ненулевыми
коэффициентами. Позже этот многоугольник был назван
многоугольником Ньютона, а его обобщение на случай трех или
более переменных - многогранником Ньютона. Оказывается,
многие свойства системы алгебраические уравнений со многими
неизвестными можно определить, зная не сами уравнения, а только
их многогранники. Использование многогранников Ньютона дает
пример плодотворной связи геометрии, алгебры и анализа. Об этих
связях и пойдет речь на лекции.
Наверх Лекция 20 октября
Лектор: Ковальджи Александр Кириллович
Тема: Ошибки в доказательствах
В доказательствах нередко встречается фраза "Очевидно,
что...". Однако видимость бывает обманчивой.
Есть ошибки, которые делают почти все начинающие. Например,
большинству людей очевидно, что мы видим неполную Луну потому,
что Земля бросает на нее тень. А так ли это?
Некоторые ошибки носят психологический характер, многие вызваны недостатками
образования, а есть и такие, с которых начинались новые направления
исследований. Процесс поиска ошибок бывает не только трудной, но
и увлекательной задачей. Это и будет продемонстрировано на
лекции.
Наверх Лекция 27 октября
Лектор: Парамонова Ирина Михайловна
Тема: Симметрия в математике
Что общего между уравнением x4+y4+z4=1
и равносторонним треугольником? Какая математическая задача лежит в основе
создания наиболее тонкого современного средства медицинской
диагностики - компьютерной томографии? Ответ на эти и многие
другие вопросы заключен в понятии симметрии. На лекции будет
рассказано о том, что понимается под симметрией в современной
математике. В частности, будет объяснено, что такое группа
преобразований и абстрактная группа, что такое инварианты группы, откуда
берутся эти понятия и зачем они нужны.
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 3 ноября
Лектор: Сергей Павлович Коновалов
Тема: Арифметика и шифры
Математику и искусство тайнописи объединяет не только то, что
шифрование информации издавна производится заменой букв цифрами (само
слово "шифр" происходит от французского "chiffre" - цифра.)
В современных способах шифрования используются и свойства чисел.
Например, компьютер легко перемножит два даже очень больших (сотни
знаков) натуральных числа. А вот разложить на простые множители
полученное произведение за "разумное" время ему не удается:
существующие методы решения этой задачи связаны с перебором огромного
числа вариантов.
На этом простом замечании основана удивительная система шифрования
RSA, о которой и будет рассказано на лекции.
Наверх Лекция 10 ноября
Лектор: Дориченко Сергей Александрович
Тема: Алгебраические кривые на плоскости
Знаменитая теорема Паскаля гласит: если шестиугольник ABCDEF вписан в окружность, то точки
пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA
лежат на одной прямой. Утверждение теоремы останется верным, если заменить окружность
на любую кривую второй степени (эллипс, параболу, гиперболу или пару прямых).
Мы докажем эту теорему алгебраически, но почти без
вычислений - очень просто и красиво выведем его из теоремы Безу, которая
утверждает, что любые две алгебраические кривые на плоскости
степеней m и n соответственно пересекаются
либо по целой кривой, либо по конечному числу точек, которое не
превосходит mn (более точная формулировка будет дана на лекции). Доказательство теоремы Безу
в общем случае не просто, но нам будет достаточно одного
частного случая этой теоремы, который мы и докажем.
С помощью теоремы Безу можно доказать и некоторые
другие планиметрические теоремы (например, теорему Дезарга, теорему о бабочке).
Теорема Безу позволяет ответить и на вопросы
следующего типа: можно ли можно ли задать на плоскости Oxy
системой алгебраических уравнений одну ветвь гиперболы?
(Алгебраическое уравнение - это выражение вида P(x,y)=0 ,
где P(x,y) - многочлен от двух переменных, то есть сумма
слагаемых вида axkyl, где a -
любое число,k и l - неотрицательные целые числа).
Наверх Лекция 17 ноября
Лектор: Владимир Игоревич Арнольд
Тема: Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов
Комплексные числа доставляют алгебраическое описание движений
евклидовой плоскости. Движения трехмерного евклидова пространства
не всегда коммутируют, и их описание приводит к некоммутативной
алгебре. Одному вращению трехмерного пространства соответствует
два кватерниона, и их различие связано с топологией трехмерного
проективного пространства. Физики назвали это топологическое
явление спином. "Вращения" электронов отличаются от вращений
твердых тел именно различием спинов, играющих решающую роль при
описании электронных оболочек атомов.
В докладе, не требующем для своего понимания предварительных знаний,
будут, наряду с основными фактами классической теории,
рассказаны некоторые новые результаты и гипотезы. Например,
комплексной версией тетраэдра оказывается октаэдр, а гипотеза,
что кватернионная его версия — икосаэдр, не доказана.
Комплексная и кватернионная версия проективной геометрии приводят
к исследованию преобразований проективной плоскости, переводящих
проективные прямые в проективные прямые. В комплексном случае
такие гладкие преобразования сводятся к комплексным проективным
преобразованиям (быть может, при помощи комплексного сопряжения).
В кватернионном случае ситуация сложнее, так как кватернионное
сопряжение меняет порядок сомножителей и является не
автоморфизмом, а антиавтоморфизмом алгебры кватернионов.
Вероятно, непрерывных преобразований в обоих случаях столько же,
сколько гладких, но это не доказано.
Геометрия кватернионных преобразований приводит также к
своеобразному аналогу стереографической проекции, доставляющему
многомерный аналог той параметризации окружности тангенсом
половинного угла, которая сводит тригонометрические интегралы к
интегралам от рациональных функций, доставляя в то же время
древнюю формулу для "пифагоровых" троек вроде 32+42=52.
С топологической точки зрения эта же конструкция определяет
спиноры, накрывающие вращения пятимерного пространства (подобно
тому, как спины делают это с вращениями трехмерного). В высших
размерностях аналогичная конструкция доставляет серии простых
алгебр Ли Cn, так что спиноры получаются лишь из-за совпадения
C2 с B2 (кватернионная унитарность редуцируется к
ортогональности).
Наверх Лекция 24 ноября
Лектор: Зильберман Александр Рафаилович
Тема: Волны. Звук
Разговор пойдет о звуковых волнах: что это такое, как волны себя
ведут, как их излучать и принимать, как человек воспринимает звук и что
физики говорят о музыке, когда их об этом спрашивают.
Кроме того, речь пойдет о том, что теряется при цифровом
кодировании звуков, что подразумевают под качеством звучания.
(Могут ли слушать высококачественную музыку не очень богатые люди?)
Лекция доступна в полной мере ученикам 11 класса,
в значительной мере - 10, а в некоторой - даже тем, кто не проходил в школе тему
"Колебания и волны" (им есть смысл предварительно изучить,
например, курс физики Ландсберга).
Наверх Лекция 1 декабря
Лектор: Сурдин Владимир Георгиевич
Тема: Приливные силы на Земле и в космосе
Среди четырех фундаментальных сил природы - гравитационной,
электромагнитной, сильной и слабой ядерных, - этой силы нет. Тем не
менее, вызванные приливной силой эффекты влияют на движение планет,
звезд и галактик, расположение созвездий, на погоду, морскую и
речную навигацию, на рост растений и эволюцию биосферы. Даже идея
создания машины времени, которую можно было бы осуществить,
используя черные дыры, наталкивается на почти непреодолимое
препятствие - приливные силы. Впрочем, поняв их особенности,
вы, возможно, сумеете преодолеть и это!
Наверх Лекция 8 декабря
Лектор: Алексеев Валерий Борисович
Тема: Арифметические алгоритмы и оценки их сложности
Важной составной частью многих алгоритмов являются действия над
числами. Например, арифметические операции (сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение в степень), нахождение
делителей и разложение на множители, нахождение наибольшего
общего делителя нескольких чисел и так далее.
Для всех этих операций есть
алгоритмы, которые изучают в школе. Но в стороне остается вопрос о
том, нет ли более быстрых алгоритмов. На лекции
будет рассказано, как построить сумматор из простых
логических элементов (дизъюнкция, конъюнкция, отрицание), как перемножать числа
быстрее, чем "в столбик", об оценках сложности алгоритма
Евклида и задачи возведения в степень
Наверх Лекция 15 декабря
Лектор: Хованский Аскольд Георгиевич
Тема: Симметрические многочлены. Уравнения третьей и четвертой степеней
Все вы знаете, как решать квадратные уравнения.
Многие слышали, что не существует явной формулы, использующей
арифметические операции и операции извлечения корней, которая бы
давала решение общего уравнения пятой (и тем более любой более
высокой) степени.
Однако для каждого многочлена можно вычислить любой
симметрический многочлен от его корней. На лекции будет
объяснено, что это такое, как это сделать и как можно
использовать симметрические многочлены для нахождения явных
формул корней уравнения третьей или четвертой степени (так
называемых формул Кардано и Феррари).
Наверх Лекция 22 декабря
Лектор: Жуков А.В.
Тема: Число p
Краткая "биография" числа p: Архимед, Гюйгенс, Грегори,
Леонард Эйдер и др.
История вычисления числа p. Современные алгоритмы (Питер и Джонотан Борвейны).
Всегда ли p=3,14... и что такое p в геометрии
Минковского?
Нерешенные проблемы, связанные с числом p: одинаково ли часто втречабтся
различные цифры в записи числа p; существуют ли фракталы размерности p?
Наверх |
