X Заочный конкурс учителей математики.

Информация и правила участия                  Задания конкурса в форматах PDF, 140k и MsWord, 30k

I. Решите задачи.

?1. Какую часть сотрудников фирмы надо уволить, чтобы при уменьшении фонда заработной платы на 20% повысить среднюю зарплату оставшихся сотрудников на 20%?

?2. На плоскости отметили 8 точек. Каждую пару точек соединили отрезком и к каждому такому отрезку построили серединный перпендикуляр. Могло ли оказаться так, что на каждом построенном перпендикуляре лежат ровно две отмеченные точки?

?3. Известно, что при любых целых значениях x выражение ax³ + bx² + cx принимает целые значения. Докажите, что 6a – целое число.

?4. В шахматном турнире участвуют 2014 игроков. В каждом туре они произвольным образом разбиваются на пары так, чтобы шахматисты в каждой паре ранее в этом турнире между собой не играли. Турнир заканчивается, когда такое разбиение провести невозможно. Какое наибольшее количество туров можно гарантированно провести в таком турнире?

?5. В равнобедренном треугольнике АВС проведена окружность с центром С, касающаяся основания АВ, которая пересекает боковые стороны в точках A' и B'. В образовавшейся трапеции AA'B'B проведен отрезок DE, параллельный ее основаниям и разбивающий ее на две подобные трапеции. Сравните длину DE и длину дуги окружности, лежащей внутри трапеции.

II. Методический блок.

?6. 'Задача'. При каких значениях параметра а система уравнений

имеет ровно одно решение?

'Ответ': при а = 0,25.

'Решение'. Подставив значение из первого уравнения во второе, получим: . Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно y, тогда . Для того, чтобы решение было единственным, потребуем равенства нулю дискриминанта: , откуда а = 0,25.

?7. 'Задача'. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы среди них был хотя бы один туз?

'Ответ': .

'Решение'. Поскольку требуется туз, то сначала выберем его и это можно сделать четырьмя способами. Затем достаточно выбрать произвольные 9 карт из 51. Количество способов, которыми это можно сделать, равно . Так как оба выбора происходят независимо, то искомое количество способов равно .

?8. 'Задача'. Даны три окружности a , b и g. Никакие две из этих окружностей не лежат в одной плоскости, но каждые две из них имеют ровно две общие точки. Докажите, что все три окружности принадлежат одной сфере.

'Решение'. Пусть окружности a и b пересекаются в точках P и Q. Докажем, что существует сфера, на которой лежат обе окружности. Действительно, каждая окружность однозначно задается тремя точками, то есть окружность a задается точками А, P и Q, а окружность b – точками В, P и Q. Значит, пара окружностей задается четырьмя точками А, В, P и Q, а через любые 4 точки пространства можно провести сферу. Третья окружность g имеет с этой сферой 4 общие точки (две – с a , и две – с b ), поэтому g принадлежит сфере.