Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/pdc/2007/xtra/Vdovin/ResearchStatement_Vdovin.pdf Дата изменения: Wed Oct 24 17:36:30 2007 Дата индексирования: Thu Jan 15 21:04:53 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

старшего научного сотрудника Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, кандидата физико-математических наук, Вдовина Евгения Петровича для участия в конкурсе Пьера Делиня и конкурсе фонда ?Династия?.

План исследований

1

Проведенные исследования

Абелевы и нильпотентные подгруппы конечных простых групп

Кандидатская диссертация Вдовина Е.П. была посвящена изучению абелевых и нильпотентных подгрупп в конечных простых группах, почти простых группах и квазипростых группах. Напомним, что в силу классификационной теоремы, конечная неабелева простая группа это одна из групп в следующем списке: 1. Знакопеременная группа Altn степени n 2. Конечная группа лиева типа. 3. Спорадическая группа. Строение абелевых и нильпотентных групп в знакопеременных группах почти очевидно и можно считать известным. Строение абелевых и нильпотентных подгрупп спорадических групп можно извлечь из знаменитого ?Атласа конечных групп?, поэтому мы сконцентрируем наше внимание на конечных группах лиева типа. Для изучения абелевых и нильпотентных подгрупп конечных групп лиева типа было получено их индуктивное описание, в котором утверждалось, что либо абелева (соответственно, нильпотентная) подгруппа состоит из унипотентных элементов, либо она имеет нормальную подгруппу, фактор группа по которой изоморфна секции группы Вейля конечной группы лиева типа, а сама эта нормальная подгруппа содержится в некоторой собственной редуктивной подгруппе максимального ранга. Тем самым, вопрос об изучении абелевых (нильпотентных) подгрупп был сведен к изучению абелевых полупростых и абелевых унипотентных (соответственно, силовских) подгрупп. Данные результаты опубликованы в работах [26] и [28]. Описание абелевых полупростых подгрупп является известным, это либо некоторый тор, либо жорданова подгруппа, либо группа, порожденная коммутирующими тором и жордановой подгруппой. Таким образом, оказывается, что порядок абелевой полупростой подгруппы не превосходит порядка некоторого тора, а порядки торов во всех конечных группах лиева типа известны. Описание абелевых унипотентных подгрупп в конечных группах лиева типа существенно сложнее и какого-то общего описания не существует. В ряде работ (см. [3], [4], [22], [23]) М. Барри (M. Barry) и В. Вонг (W. Wong) нашли абелевы унипотентные подгруппы максимального порядка в классических группах. Не считая первой работы М.Барри, остальные были построены на исследовании геометрических свойств естественного представления классических групп и потому для каждого типа классических групп результаты получались по-разному. Кроме того, М. Барри и В. Вонг нашли подгруппы Томпсона в унипотентных подгруппах классических групп. Аналогичные результаты в исключительных группах лиева типа долгое время были неизвестны, соответствующие вопросы отмечали в своих обзорных работах такие известные специалисты в области конечных групп лиева типа, как А.С. Кондратьев и Г.М. Зейц (G.M. Seitz). В работе [29] для каждой унипотентной группы (не обязательно максимальной) конечной группы лиева типа введены некоторые 1

5.


параметры, в терминах которых удалось получить необходимый критерий того, что данная унипотентная группа является абелевой. Мы хотим особо подчеркнуть, что критерий не зависит ни от корневой системы, ни от поля определения группы. Используя данный критерий удалось найти абелевы унипотентные подгруппы максимального порядка во всех исключительных группах лиева типа и найти подгруппы Томпсона в максимальных унипотентных подгруппах исключительных групп лиева типа. Отметим, что из полученных результатов в качестве простых следствий вытекают результаты М.Барри и В.Вонга для классических групп. Таким образом, удалось получить короткое и единообразное описание абелевых унипотентных подгрупп максимального порядка во всех конечных группах лиева типа. Используя полученные результаты автору удалось доказать следующую теорему (см. [25])
Теорема 1. Пусть G конечная простая группа, неизоморфная абелева подгруппа. Тогда |A|3 < |G|.

P S L2 (q )

и A е?

Из данной теоремы как простое следствие вытекает решение вопросов 4.27 и 9.63 из ?Коуровской тетради? всемирно известного сборника задач по теории групп [1], об абелевой AB A-факторизации конечных групп. Поскольку вопрос о строении нильпотентных групп удалось свести к изучению силовских подгрупп, а строение силовских подгрупп в конечных группах лиева типа достаточно хорошо известно, то для нильпотентных групп приведенное выше индуктивное описание позволяет находить все максимальные нильпотентные подгруппы. В частности, доказана следующая теорема (см. [28])

Тогда

Теорема 2.

|N | < |G

2

Пусть G конечная простая группа и N е? нильпотентная подгруппа. |.

Теорема 3. Пусть G конечная разрешимая группа и N нильпотентная подгруппа группы G индекса n. Тогда |G : F (G)| n5. Теорема 4. Пусть G конечная группа и N нильпотентная подгруппа группы G индекса n. Тогда |G : F (G)| n9.

Используя эту теорему, в работе [27] был получен ответ на вопрос Л. Бабаи (L.Babai), А.Дж. Гудмана (A.J. Goodman) и Л. Пыбера (L. Pyber) о полиномиальной оценке индекса нормальной нильпотентной подгруппы, поставленный в 1997 году в их статье в ?Journal of Algebra?[2]. А именно, были доказаны следующие теоремы.

После защиты кандидатской диссертации автор продолжил изучение подгруппового строения конечных групп, близких к простым, в первую очередь конечных групп лиева типа. Совместно с Д.О. Ревиным был получен ряд результатов о холловых подгруппах конечных групп и совместно с М.К. Тамбурини (M.C. Tamburini) был получен ряд результатов о картеровых подгруппах конечных групп.
Холловы подгруппы конечных групп

Напомним, что если множество простых чисел и G конечная группа, то -подгруппа M группы G называется , если ее индекс |G : M | не делится на простые числа из . В 1956 году Ф. Холл (P. Hall) ввел свойства E , C и D , соответственно, обозначающие, что конечная группа содержит холлову -подгруппу, что все холловы -подгруппы сопряжены данной холловой -подгруппе, и что каждая -подгруппа сопряжена с некоторой подгруппой в данной холловой -подгруппе. Поскольку свойство E наследуется фактор группами и

-подгруппой

холловой

2


нормальными подгруппами, особенно актуальным является изучение свойства E в неабелевых простых группах. Кроме того, Ф. Гросс (F. Gross) в работе [13] доказал, что если для любого неабелева композиционного фактора конечной группы G его группа индуцированных автоморфизмов в G обладает свойством E , то и вся группа G обладает свойством E . Таким образом, изучение свойства E в конечных группах сводится к изучению свойства E в почти простых группах. Различными авторами, такими как Ф. Холл [17], Дж. Томпсон (J. Tompson) [20], Ф. Гросс [12][16] и другими были найдены холловы подгруппы в различных классах конечных почти простых групп. В работах [30] и [34] завершено описание свойства E в конечных простых группах. Заметим, что свойство D является полным аналогом теорем Силова. Долгое время оставались нереш?нными восходящие к Ф. Холлу вопросы 3.62 и 13.33 из ?Коуровской тетради? о наследовании свойства D нормальными подгруппами и при расширениях. Некоторые частичные результаты можно найти в уже упомянутых выше работах. В работе [34] получено окончательное решение проблем, в частности, доказана следующая теорема.

Конечная группа G обладает свойством D тогда и только тогда, когда все ее композиционные факторы обладают свойством D .
Теорема 5. Подгруппы конечных групп лиева типа с тривиальным унипотентным ради-

Пусть G конечная группа лиева типа над полем характеристики p. Тогда количество подгрупп группы G с тривиальной нормальной p-подгруппой не превосходит |G|c для некоторой абсолютной константы c.
Теорема 6.

Изучая подгрупповое строение конечных групп лиева типа, автору удалось получить следующую теорему, дающую ответ на вопрос, поставленный Л. Пыбером и А. Шалевым (A. Shalev) в работе [19].
калом

Отметим также недавний результат автора совместно с А.В. Васильевым [35], который стал одной из глав докторской диссертации А.В. Васильева. В данной работе получен простой исчерпывающий критерий смежности в графе простых чисел конечных простых групп и ряд важных следствий. Цитата из рецензии: ?... результаты данной работы носят прорывный характер и способны послужить основой для резкого скачка в исследовании вопроса распознаваемости по спектру для конечных простых групп?. По прошествии двух лет с момента публикации данной работы уже появилось множество статей, основным техническим инструментом которых является данная работа. За результаты, перечисленные выше, в 2006 году автор был награжд?н медалью РАН за лучшую научную работу среди молодых уч?ных.
Критерий смежности графа простых чисел

Напомним, что нильпотентная самонормализуемая подгруппа конечной группы называется . В своей известной работе 1961 года Р. Картер (R. Carter) [5] доказал, что любая конечная разрешимая группа содержит картеровы подгруппы и все они сопряжены. Если отбросить предположение о конечности группы, то картеровы подгруппы могут быть даже неизоморфны, достаточно рассмотреть свободное произведение двух неизоморфных картеровых подгрупп. С другой стороны, произвольная конечная группа может не иметь картеровых подгрупп, таковой является, например, группа Alt5 знакопеременная группа степени 5. Однако, до сих
Картеровы подгруппы

картеровой подгруппой

3


пор неизвестно конечных групп, содержащих несопряженные картеровы подгруппы. Напротив, работы [6], [8][10] и [21] показывают, что каждый раз, когда картеровы подгруппы в группах, близких к простым существуют, они оказываются нормализаторами силовских 2-подгрупп и потому сопряжены. Всвязи с этим разумно выдвинуть предположение о том, что картеровы подгруппы конечной группы сопряжены (если они не существуют, мы тем не менее можем считать их сопряженными). В работе [7] Ф. Далла Волта (F. Dalla Volta), А. Луккини (A. Lucchini) и М.К. Тамбурини доказали, что минимальный контрпример к данному предположению должен быть почти простым. Таким образом, появилась возможность решить проблему сопряж?нности картеровых подгрупп с использованием классификации конечных простых групп. В работах [31] и [32] автором совместно с М.К. Тамбурини удалось доказать, что широкий класс почти простых групп не является минимальным контрпримером к проблеме сопряж?нности. В частности, никакая простая группа не является минимальным контрпримером. Позже в работе [36] Е.П. Вдовиным был усилен результат из [7] для того, чтобы избежать использования классификации конечных простых групп. Затем, в работах [37] и [39] было доказано, что если композиционные факторы конечной группы являются известными простыми группами (если предполагать, что классификация конечных простых групп верна, то это всегда так), то е? картеровы подгруппы сопряжены. Кроме того, в работе [38]удалось получить критерий существования картеровых подгрупп и классификацию картеровых подгрупп конечных групп. Результаты о картеровых подгруппах были оформлены в виде диссертации ?Картеровы подгруппы конечных групп? на соискание уч?ной степени доктора физико-математических наук, защита которой назначена на 18 октября 2007 года. В работе 1966 года Д.С. Пассман (D.S. Passman) [18] доказал, что в любой конечной p-разрешимой группе G существуют такие три силовские p-подгруппы P1 , P2 , P3 , что P1 P2 P3 = Op (G) (здесь и далее через O (G) для множества простых чисел обозначена максимальная нормальная -подгруппа группы G). Позже этот результат неоднократно обобщался в различных направлениях. В.И. Зенков [24] доказал, что аналогичное утверждение справедливо для любой конечной группы (не обязательно p-разрешимой). В 2005 году С. Дольфи (S. Dol) [11] доказал справедливость аналогичного утверждения для множества неч?тных простых чисел . Недавно автору удалось доказать следующую теорему (см. [40]).
Пересечение холловых подгрупп

Пусть H холлова -подгруппа конечной -разрешимой группы G. Тогда существуют такие x, y G, что H H x H y = O (G).
Теорема 7.

2

Проект будущих исследований

Далее автор планирует продолжить исследование подгруппового строения конечных групп, близких к простым, в первую очередь, конечных групп лиева типа. Используя полученную классификацию холловых подгрупп в конечных простых группах, планируется завершить классификацию холловых подгрупп в конечных почти простых группах. Тем самым будет завершено описание конечных E -групп для произвольного множества простых чисел . Базируясь на этом описании, планируется изучить вопрос существования дополнения для холловой -подгруппы и обобщить знаменитую теорему Шура-Цассенхауза о существовании дополнения к нормальной холловой -подгруппе.

4


Свойство C наследуется при расширениях, но, вообще говоря, не наследуется нормальными подгруппами. Однако, как показывают предыдущие исследования, в важном случае, когда индекс нормальной подгруппы является -числом, нормальная подгруппа часто обладает свойством C . Планируется исследовать этот вопрос и доказать, что если индекс нормальной подгруппы C -группы не делится на простые числа из , то нормальная подгруппа обладает свойством C . Также до сих пор оста?тся открытым важный вопрос: Будет ли подпрямое произведение C -групп вновь C -группой. Планируется получить положительное решение и для этого вопроса. Для решения указанных выше вопросов необходимо получить классификацию почти простых C -групп. Таким образом, в рамках проекта будет также получена классификация почти простых C -групп для любого множества простых чисел . Доказательство теоремы 7 в работе [40] сводит вопрос изучения пересечений холловых -подгрупп в конечных группах к изучению пересечений холловых -подгрупп в почти простых группах. Планируется доказать следующую

Теорема 8. Пусть H разрешимая холлова -подгруппа конечной группы G. Тогда существуют такие элементы x, y, z G, что H H x H y H z = gG H g = O (G).

Известно бесконечно много примеров, когда обойтись двумя элементами, как в теореме 6, нельзя. Кроме того, планируется получить аналогичный результат для произвольной (не обязательно разрешимой) холловой -подгруппы. Известный пример холловой подгруппы Sp-1 в группе Sp (p простое число) показывает, что получить универсальную константу на количество пересекаемых холловых подгрупп нельзя. Однако есть надежда, что удастся получить некоторую оценку количества пересекаемых холловых подгрупп в терминах чисел, лежащих в .

3

Педагогические планы

Автором разработан и читается на механико-математическом факультете Новосибирского госуниверситета специальный курс ?Линейные алгебраические группы?. Цель этого курса, дать по возможности элементарное и вместе с тем полное изложение структурной теории линейных алгебраических групп над полем произвольной характеристики, построить автоморфизм Фробениуса и получить конечные группы лиева типа как множество неподвижных точек этого автоморфизма. Заканчивается курс доказательством теоремы Ленга-Стейнберга и некоторыми е? наиболее известные приложения для вычисления порядков централизаторов полупростых элементов (и, следовательно, порядков всех конечных групп лиева типа), для изучения классов сопряженности, а также для определения редуктивных и параболических подгрупп и доказательства результатов М. Ашбахера и А.В. Боровика о подгрупповом строении конечных групп лиева типа. На сайте кафедры алгебры и математической логики НГУ выложен текст лекций. В настоящее время он редактируется с тем, чтобы в последствии быть изданым книгой. Кроме того, я являюсь научным руководителем аспиранта НГУ Алексея Альбертовича Гальта.

5


Список литературы
[1] ?Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь.? 16-е изд., Новосибирск, 2005. [2] L. Babai, A.J. Goodman, L. Pyber, ? Groups without Faithful Transitive Permutation Representations of Small Degree?, J. Algebra, v. 195 (1997), 1, 129. [3] M.J.J. Barry, ?Large Abelian subgroups of Chevalley groups?, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 27 (1979), 1, 5987. [4] M.J.J. Barry, W.J.Wong, ?Abelian 2-subgroups of nite symplectic groups in characteristic 2?, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 33 (1982), 3, 345350. [5] R.W. Carter, Nilpotent self-normalizing subgroups of soluble groups 136139.

Math. Z.

vol 75 (1961),

[6] A. D'aniello, Sull' esistenza di sottogruppi nilpotenti autonormalizzanti in alcuni gruppi semplici, II, 74 (1983), 16.

Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur.

[7] F. Dalla Volta, A. Lucchini, M. C. Tamburini, ? On the Conjugacy Problem for Carter Subgroups?, Comm. Algebra. 26 (1998). 2. P. 395401. [8] L. Di Martino and M.C. Tamburini, I sottogruppi nilpotenti autonormalizzanti di Sn e di An , 110 (1976), 235241.

Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. A

[9] L. Di Martino and M.C. Tamburini, Carter subgroups of pro jective linear groups, B(7) (1987) p. 905915.

Un. Mat. Ital

Bol l.

[10] L. Di Martino, M.C. Tamburini and A.E. Zalesskii, Carter subgroups in classical groups, (2) 55 (1997), 264276.

J. London Math. Soc.

[11] S. Dol, ?Intersections of odd order Hall subgroups?, Bull.London Math.Soc., v. 37 (2005), 1 6166. [12] F. Gross, On a conjecture of Philip Hall, 464-494.

Proc. London Math. Soc.

(3),

52

(1986), N 3,

[13] F. Gross, On the existence of Hall subgroups, [14] F. Gross, Conjugacy of odd order Hall N 79, 311-319.

J. Algebra, 98 (1986), N 1, 1-13. subgroups, Bul l. London Math. Soc., 19 Rocky Mountain J. Math. Math. Z.
,

(4) (1987),
23

[15] F. Gross, Hall subgroups of order not divisible by 3, N 2, 569-591.

(1993), (1995),

[16] F. Gross, Odd order Hall subgroups of the classical linear groups, N 3, 317-336.

220

[17] P. Hall, ?Theorems like Sylow`s?, Proc. London Math. Soc., 6 (1956), 22 (1956), 286 304. [18] D.S. Passman, 123:1 (1966), 99111.

Groups with normal solvable Hal l p -subgroups,
6

Trans.Amer.Math.Soc.,


[19] L. Pyber and A. Shalev. Asymptotic results for primitive permutation groups. 188 (1997), 103124. [20] J. Thompson, Hall subgroups of symmetric groups, 271-279.

J.Algebra

.

J. Combin. Theory,

Ser. A,

1

(1966),

[21] N.A. Vavilov, Nilpotent self-normalizing subgroups of the general linear group over a nite eld, LOMI, 86 (1979), 3439.

Zap. nauchn. Sem. Leningrad Otdel Mat. Inst. Steklov

[22] W.J. Wong, ?Abelian unipotent subgroups of nite orthogonal groups?, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 32 (1982), 2, 223245. [23] W.J. Wong, ?Abelian unipotent subgroups of nite unitary and symplectic groups?, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 33 (1982), 3, 331344. [24] V.I. Zenkov, ?Пересечение нильпотентных Фунд.Прикл.Мат., т. 2 (1996), 192. подгрупп в конечных группах?,

Работы автора

[25] Е.П. Вдовин, ?Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах? Алгебра и логика, т. 38 (1999), 2, 131160. Перевод E.P. Vdovin ?Maximal Orders of Abelian Subgroups in Finite Simple Groups?, Algebra and Logic, v. 38 (1999), 2, 67 83. [26] Е.П. Вдовин, ?Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле.? Математические заметки, т. 69 (2001), 4, 524549. Перевод E.P. Vdovin, ?Maximal orders of abelian subgroups of nite Chevalley groups? Math. notes, v. 69 (2001), 4, 475498. [27] Е.П. Вдовин, ?Большие нормальные нильпотентные подгруппы конечных групп?, Сибирский математический журнал, т. 41 (2000), 2, 304310. Перевод E.P. Vdovin, ?Large normal nilpotent subgroups of nite groups?, Siberian Mathematical Journal, v. 41 (2000) , 2, p. 246251. [28] Е.П. Вдовин, ?Большие нильпотентные подгруппы конечных простых групп?, Алгебра и логика, т. 39 (2000), 5, 526546. Перевод E.P. Vdovin, ?Large nilpotent subgroups of nite simple groups?, Algebra and Logic, v. 39 (2000), 5, 301312. [29] Е.П. Вдовин, ?Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле?, Алгебра и логика, т. 40 (2001), 5, 523544. Перевод E.P. Vdovin, ?Large abelian unipotent subgroups of nite Chevalley groups?, Algebra and Logic, v. 40 (2001), 5, 292305. [30] Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин ?Холловы подгруппы нечетного порядка конечных групп?, Алгебра и логика, т. 41 (2002), 1, 1556. Перевод E.P. Vdovin, D.O. Revin ?Hall subgroups of odd order of nite groups?, Algebra and Logic, v. 41 (2002), 1, 829. [31] M.C. Tamburini, E.P. Vdovin, ?Carter subgroups of nite groups?, Journal of Algebra, v. 255 (2002), 1, 148163. [32] A. Previtali, M.C. Tamburini, E.P. Vdovin, ?The Carter subgroups of some classical groups?, Bulletin of the London Mathematical Society, v. 36 (2004), 145155. 7


[33] E.P. Vdovin, ?The number of subgroups with trivial unipotent radicals in nite groups of Lie type?, Journal of the Group Theory, v. 7 (2004), 99112. [34] D.O. Revin, E.P. Vdovin, ?Hall subgroups of nite groups?, в сборнике ?Ischia Group Theory 2004: Proceedings of a Conference in Honor of Marcel Herzog?, Contemporary Mathematics, AMS, 2006, 229263. [35] А.В. Васильев, Е.П. Вдовин, ?Критерий чисел конечной простой группы?, Алгебра A.V. Vasil'ev and E.P. Vdovin, ?Adjacency group?, Algebra and Logic, v. 44 (2005), смежности двух вершин в графе простых и логика, т. 44 (2005), 6, 682725. Перевод criterion in the prime graph of a nite simple 6, 381406.

[36] Е.П. Вдовин, ?О проблеме сопряж?нности для картеровых подгрупп?, Сибирский математический журнал, т. 47 (2006), 4, 725730. Перевод E.P. Vdovin, ?On the conjugacy problem for Carter subgroups?, Siberian Mathematical Journal, v. 47 (2006), 4, 597600. [37] Е.П. Вдовин, ?Картеровы подгруппы почти простых групп?, Алгебра и логика, т. 46 (2007), 2, 157216. Перевод E.P. Vdovin, ?Carter subgroups of almost simple groups?, Algebra and Logic, v. 46 (2007), 2, 90119. [38] Е.П.Вдовин, ?О существовании картеровых подгрупп?, Труды ИММ, 1 (2007), 79 88. Перевод E.P.Vdovin, ?On the existence of Carter subgroups?, , 2007, 195204.

Suppl. 1

Proc. Stekl. Inst. Math.

[39] Е.П. Вдовин, ?Сопряж?нность картеровых подгрупп в конечных группах?, Доклады РАН, т. 415 (2007), 3, 300303. Перевод E.P. Vdovin, ?Conjygacy of Carter subgroups in nite groups?, Doklady RAN, v. 415 (2007), 3, 300303. [40] E.P. Vdovin, ?Regular orbits of solvable linear p -groups?, Siberian Electronic Mathematical Reports, т. 4 (2007), 345360.

8