Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/8mat_0910/spec/030_Sums.doc Дата изменения: Sun Sep 2 21:08:09 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 05:33:45 2013 Кодировка: koi8-r

Гимназия 1543, 8-В класс
Листик 3, 26 сентября 2009.
Суммирование.

Задача о делении пирога. Марина угощала своих шестерых гостей пирогом.
Сначала пирог был разрезан на 7 равных частей и разложен по тарелкам. Гости
свои куски съели, а Марина разделила свою часть пирога на 7 равных частей и
роздала их гостям. Те снова съели свои порции, а Марина снова разделила
свою долю на 7 равных частей и т.д. Понятно, что через некоторое время от
пирога остались только несколько крошек прилипшие к тарелкам.
1. Какая часть пирога будет у Марины, а какая достанется гостям после
второго и n-го разрезания? Запишите в виде бесконечной суммы ту часть
пирога, что съели гости (а съели-то они весь пирог!). Чему равна эта
сумма?
2. Запишите в виде суммы ту часть пирога, которая оказалась съеденной после
n-го разрезания. Чему равна эта сумма?
3. а) Найдите следующие суммы [pic] б) [pic] в) [pic]
г) [pic]
Определение. Последовательность bn , каждый следующий член которой
получается умножением на одно и тоже число [pic] называется геометрической
прогрессией, а это число q - знаменателем прогрессии.
4. Какие из следующих последовательностей являются геометрическими
прогрессиями?
а) 1; 2; 4; 8; 16;. б)[pic] в) 1; -1; 1; -1; 1; -1 . г) 0,3; 0,03; 0,003;
0,0003;.
5. а) Верно ли, что [pic] делится на [pic] если разность ненулевая? Если
да, то чему равно частное?
б) Вычислите сумму [pic]. Сравните свой ответ с задачей 3б)
в) (Обобщение) Выразите сумму всех элементов конечной геометрической
прогрессии через начальный член, количество слагаемых и знаменатель.
6. Суммами каких геометрических прогрессий являются следующие числа?
Напишите для них формулу без многоточий. а) [pic] б) [pic].
7. (Проблема раздела наследства) а) Старший из двух братьев получил
наследство и отдал младшему брату половину. Тот, из уважения к
старшинству возвратил половину полученной суммы старшему брату, старший
же снова вернул половину младшему и так далее. В каком отношении, в конце
концов, будет поделено наследство?
б) Как будет разделено наследство, если каждый брат возвращает не
половину, а [pic] часть наследства?
в) Какую часть должен возвращать каждый, чтобы в результате один получил
51% а другой - 49%?
Суммы удобно записывать с помощью обозначения (. По определению сумма
[pic]записывается [pic]
8. Запишите с помощью ( (без многоточия) некоторые суммы из листика
Индукция 2.
а) [pic] Ответ: [pic]
б) [pic] в) [pic] г) [pic]
9. Запишите с помощью ( (без многоточия) и найдите следующие суммы а) [pic]
всего n слагаемых. б) [pic]. в) 1+9+25+49+. всего n слагаемых.
10. Докажите, что верны равенства и вычислите [pic]
11. Найдите [pic]
12. а) Напишите с помощью ( равенство из задачи 2е) листика Индукция 2.
б) Пусть [pic] (например [pic]). Докажите, что [pic] - многочлен степени
k+1.
в) Найдите старший член этого многочлена.
Геометрическое суммирование.
13. Рассмотрим последовательность уголков. Сколько клеток в k - ом уголке и
чему равна суммарная площадь первых k уголков? (Указание: сложите из
первых k уголков простую фигурку)
Числа Т1=1, Т2=3, Т3=6, Т4=10,... называются треугольными:

Четырехугольные числа - это квадраты.
14. Сложите из двух последовательных треугольных чисел квадрат. Что
получится при сложении Tn с Tn? Выразите Tn через n.
15. а) Каковы размеры и площадь таблицы на рисунке?
б) Сколько клеток в k-том, считая от левого верхнего угла таблицы,
«толстом» уголке, вершина которого - квадрат kвk клеток, а стороны
составлены из прямоугольников 1вk, 2вk, ..., (k-1)вk клеток?
в) Найдите геометрически сумму [pic]
г) Сформулируйте и докажите теорему, описывающую явление: 3+5=23,
7+9+11=33, 13+15+17+19=43, ...
16. а) Пятиугольные числа P1=1, P2=5, P3=12, P4=22, ... показаны на
рисунке.
Найдите разность Pk-Pk-1 между последовательными пятиугольными числами.
Выразите Pn через n.
б) Докажите геометрически, что сумма n-го треугольного и n-го квадратного
числа на n больше, чем n-ое пятиугольное число.
17. *Докажите геометрически равенство [pic].
Указание: сложите пирамиду объема [pic] как показано на рисунке. Комбинируя
несколько таких пирамид получите фигуру объем которой легко сосчитать
(например, параллелепипед)