Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/8mat_0910/spec/075_New_year_olimp.doc Дата изменения: Sun Sep 2 21:08:30 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:42:59 2013 Кодировка: koi8-r

Гимназия 1543, 8-В класс
26 декабря 2009.


Новогодняя Домашняя Олимпиада

1. Маленький мальчик постоянно узнаёт новые слова - по 8 слов в день.
Однако каждое десятое слово, которое он узнаёт, является синонимов ровно
одного из предыдущих. К какому количеству слов он не будет знать синонимы
через 101 день после своего рождения?

2. Квадрат 100в100 разбит двумя горизонтальными и двумя вертикальными
линиями на 9 прямоугольников. Длины сторон центрального прямоугольника
равны 40 и 60. Найдите сумму площадей угловых прямоугольников.

3. Угол B треугольника ABC равен 120(. Докажите, что из отрезков с длинами
BC, AC и AB+BC можно сложить треугольник с углом 60(.

4. Числа a, b, c и d таковы, что a+b=c+d и a2 +b2 =c2+d2. Верно ли, что
a3+b3=c3+d3?

5. По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга
движутся 10 одинаковых шариков, а навстречу им движутся 10 других таких
же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух
шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с
какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдет
между шариками?

6. Докажите, что существует не менее 2499 способов выбрать знаки + или - в
выражении ±1 ± 2 ± 3 ± . ±999, так, чтобы результат равнялся 0.







Письменные решения надо принести 14 января 2010 года.

Победителям будут призы.