Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/8mat_0910/spec/100_Sets.doc Дата изменения: Sun Sep 2 21:08:43 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 05:33:51 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

Гимназия 1543, 8-В класс
Листик 10, 1 апреля 2010.
Множества.
Множество - это одно из основных неопределяемых понятий математики.
Неформальный смысл этого понятия - любой набор объектов, называемых его
элементами. Набор может быть как конечным, так и бесконечным. Все элементы
в любом множестве различны. Один из способов задать множество просто
перечислить в фигурных скобках его элементы, например {2,5} - множество
состоящее из элементов 2 и 5.
«Элемент x принадлежит множеству X» записывают как x(X. «Элемент x не
принадлежит множеству X» записывают как x(X.
1. Сколько элементов в множестве а) {1}, {1, 2, 3}, {Вася},
{{1,2},{1,3}.{1,4},{2,3}{2,4},{3,4}} б) букв слова «математика» в) имен
учеников нашего класса?
Определение. Множества A и B называются равными, если каждый элемент
множества A принадлежит множеству B, а каждый элемент множества B
принадлежит множеству A. Обозначение: A=B. . Символом |M| обозначается
число элементов множества M.
Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент
множества A принадлежит множеству B. Обозначение: [pic]. Часто подмножество
задают описанием отличительного свойства его элементов. Записывается это
так: {x(A| ...отличительное свойство..}. Например, запись {x((| (x-3)
делится на 7} задает подмножества множества натуральных чисел, дающих
остаток 3 при делении на 7.
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.
Обозначение: (. Пустое множество является подмножеством любого множества.
2. а) Сколько 2-х элементных подмножеств у множества, содержащего n
элементов?
б) А сколько всего подмножеств у множества, содержащего n элементов?
Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из всех таких
x, что x(A или x(B. Обозначение: A(B
Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из всех таких
x, что x(A и x(B. Обозначение: A(B
Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из всех таких x,
что x(A и x(B. Обозначение: A\B
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек а) (2x -
y)(x + y)=0, б) (2x - y)2+(x + y)2=0
4. На плоскости дан равносторонний треугольник ABC. Пусть
X={M| треугольник ABM равнобедренный}
Y={M| треугольник ACM равнобедренный}
Z={M| треугольник BCM равнобедренный}
Изобразите на плоскости множества а) X, Y, б) X(Y, Y(Z, Z\X, в) X(Y(Z,
г) X((Y(Z), (X(Y)((X(Z)
5. Какие из перечисленных ниже свойств справедливы для любых множеств A,B,C

а) A((B(С)= (A(B)((A(С). б) A((B(С)= (A(B) ( (A(С).
в) A\B(B\A=A(B г) A\(A\B)=A(B
Определение. Отображение f из множества X в множество Y - это правило,
сопоставляющее каждому элементу x(X ровно один элемент f(x)(Y. Элемент f(x)
называется образом элемента x. Обозначение: f: X >Y означает, что
отображение f сопоставляет элементам множества X элементы множества Y.
Композицией отображений f: X >Y, g: Y >Z называется такое отображение h:
X>Z, что h(x)=g(f(x)). Обозначение: h=g(f. (То есть композиция g(f состоит
в последовательном применении отображений f и g.)
Отображение f: X>Y называется отображением «на» (или сюръективным
отображением, сюръекцией), если для любого элемента y(Y существует
прообраз, т.е элемент x(X, такой что f(x)=y.
Отображение f: X>Y называется вложением (или инъективным отображением,
инъекцией), если для любых различных x1 и x2 значения f(x1) и f(x2) также
различны.
Отображение f: X >Y называется взаимно-однозначным соответствием
(биекцией), если если для любого элемента y(Y найдется ровно один элемент
x(X, такой что f(x)=y.
6. Нарисуйте все отображения а) из {1,2,3} в {a,b} б) из {1,2} в {a,b,c}.
Сколько из них инъективных, сюръективных, биективных?
7. Пусть |M|=m, |N|=n. а) Сколько существует отображений из множества M в
множество N? б) Сколько из них являются вложениями? в*) сколько из них
являются сюръекциями?
8. Докажите, что следующие свойства отображения f: X>Y эквивалентны:
а) f -биекция;
б) f сюръективно и инъективно;
в) f обратимо, то есть существует такое отображение g: Y>X что g(f=IdX ,
f(g=IdY , где IdM: M>M, IdM(m)=m - тождественное отображение. Такое g
называется обратным отображением.
9. Установите биекции между следующими множествами
а) Множество подмножеств множества {1,2,3,4,.,n} содержащих 1 и множество
подмножеств не содержащих 1.
б) Множество подмножеств множества X и множество отображений из Х в {0,1}.
в) Множество подмножеств множества {1,2,3,4,.,n} состоящих из четного
числа элементов и множество подмножеств состоящих из нечетного числа
элементов.
9. Установите биекции между следующими множества
а) Отрезок AB и отрезок CD.
б) Множество точек полуокружности х2 + y2 =1, y>0 и множество точек прямой
y=1
в) Множество точек интервала (0,1] и множество точек луча [1,+()
10. Между какими из следующих множеств существуют биекции?
а) Множество натуральных чисел.
б) Множество целых неотрицательных чисел.
в) Множество четных натуральных чисел
г) Множество нечетных натуральных чисел
д) Множество квадратов нечетных чисел
е) Множество простых чисел.

9. Установите биекции между следующими множествами
а) Множество подмножеств множества {1,2,3,4,.,n} содержащих 1 и множество
подмножеств не содержащих 1.
б) Множество подмножеств множества X и множество отображений из Х в {0,1}.
в) Множество подмножеств множества {1,2,3,4,.,n} состоящих из четного
числа элементов и множество подмножеств состоящих из нечетного числа
элементов.
9. Установите биекции между следующими множества
а) Отрезок AB и отрезок CD.
б) Множество точек полуокружности х2 + y2 =1, y>0 и множество точек прямой
y=1
в) Множество точек интервала (0,1] и множество точек луча [1,+()

Движения
Определение. Движением называется преобразование плоскости (т.е.
отображение из плоскости в себя), сохраняющее расстояние между любыми двумя
точками.
Формальная запись - f: (2 >(2 является движением, если AB=A'B', для любых
A,B((2 (здесь и далее в листике для краткости используются обозначения
A'=f(A), B'=f(B))

11. Докажите, что любое движение является вложением.
12. а) Пусть f - движение. Докажите, что если A,B,C лежат на одной прямой,
причем B лежит между A и С, то и A',B',C' лежат на одной прямой, причем
B' лежит между A' и C'. (Т. е. движение сохраняет отношение «лежать
между»)
б) Докажите, что при движении прямые переходят в прямые.
в) Докажите, что при движении параллельные прямые переходят в параллельные
прямые.
13. Докажите, что при движении сохраняются углы. Т.е (ABC=(A'B'C'.
14. Докажите, что любое движение является биекцией.
15. а) Докажите, что композиция движений также является движением.
б) Найдите композицию двух центральных симметрий.
в) Найдите композицию двух осевых симметрий. Сколько случаев у вас
получилось?
Формула включений-исключений.
16. Пусть множества A1, A2, ., An, - конечны.
а) Докажите, что |A1(A2|=|A1|+|A2|-|A1(A2|.
б) Докажите, что |A1(A2(A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1(A2|-|A1(A3|-
|A2(A3|+|A1(A2(A3| . (Для рассуждений удобно условно изображать множества
Ai кругами Эйлера)
в) Придумайте обобщение формулы из предыдущего пункта на n множеств. Это и
называется формулой включений-исключений. Докажите ее по индукции.
г) (Другое доказательство) Пусть элемент a входит ровно в k множеств Ai.
Посчитайте, сколько раз он посчитан в левой и правой части формулы.
Докажите получившееся тождество, используя бином Ньютона.
д)* (Третье доказательство) Пусть [pic]. Для любого подмножества B(A пусть
[pic] функция равная 1 на B и нулю на A\B. Докажите, что [pic], и
выведите из этого формулу включений-исключений.
17. В школе работают драмкружок, кружок по фото и кружок по рисованью. На
каждый из них ходит по 20 школьников, причем 10 школьников ходит на какие-
то два кружка, а Лида на все три. Сколько всего школьников ходит на
кружки?
18. Сколько существует целых чисел от 1 до 16 500, которые
а) не делятся на 5; б) не делятся ни на 3, ни на 5
в) не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 11? г) не делятся ни на 3 ни на 5,
но делятся на 11
19. В комнате площадью 6м2 постелили три ковра произвольной формы площадью
3м2 каждый. Докажите, что какие-либо два из них перекрываются по площади,
не меньшей 1м2.
20. Мы уже знаем, что [pic]. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b
и c верно равенство [pic]. Подумайте над обобщением.
21. а) Разрежьте куб на три прямоугольные пирамиды с квадратным основанием
(см. рис.).
б) Замените пирамиды на ступенчатые пирамиды (см. рис.). Посчитайте
пересечение ступенчатых пирамид. Выведите отсюда объем ступенчатой
пирамиды. Сравните с задачей 17 из листика Суммирование.

-----------------------
[pic]