Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2011_2012/11mat_1112/alg/a1106-1112-grafik.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:30:15 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:39:27 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п

Гимназия 1543

11-В класс

Полное исследование функции
План исследования функции

Математический анализ-4

29 сентября 2011 г.

1) Область определения 2) Четность/нечетность 3) Периодичность (для тригонометрических функций) 4) Точка пересечения с осью ординат. Нули функции. Интервалы знакопостоянства 5) Асимптоты 6) Критические точки и их характер. Исследование на монотонность и экстремумы в виде таблицы. 7) Исследование на выпуклость и точки перегиба. 65. Проведите полное исследование и постройте график функции а)

f (x ) =

3

x(x + 3)2 3 x

;

б)

f (x) =

x3 ; 3 - x2 x ; x +x
2

в)

f (x) = -

x3 . (x + 1)2 x+1 ; x+2

66. Проведите полное исследование и постройте график функции а)

f (x) = 2x - 3

2;

б)

f (x) =

в)

f (x) = ln

г)

f (x) = x + e-

x.

67. (из варианта демо-ЕГЭ) Найдите все значения ции

a,

при каждом из которых наименьшее значение функ-

f (x) = 2ax + |

x2

- 8x + 7|

больше 1.

68. Попробуйте построить график функции без исследования, комбинируя графики более простых функций. При необходимости уточните графики средствами анализа. а)

f (x) = e

-2x

sin2 x;
;

б)

f (x) = x + arctg x f (x) = e
cos x-sin x ;

.

69. Проведите полное исследование и постройте график функции а)

f (x) = x ћ arctg x
sin x ; 2 + cos x

б)

в)

f (x) = xx

.

70. Постройте график функции а)

f (x) =

б)

f (x) =

arcsin x ; 1 - x2

в)

f (x) = (1 + x2 )e

-x2 ;

г)

f (x) =

ln x . x

Уравнения и неравенства
71. Сколько корней может иметь уравнение
Указание. Используйте теорему Ролля.

ex = ax2 + bx + c

?

72. Докажите, что уравнение 73. Решите уравнение

x4 + x3 + x = 2
x . 6
3

имеет ровно один положительный корень.

sin x = x - 1-
при

74. Докажите неравенство: а) б) в)

1-

x2 2 sin x 3 x

cos x cos x
x 2!
2

x2 2

+

0 3

ex

1+x+

+

x 3!

+ ..

x4 при всех x; 24 ; 2 x2 .+ при всех 2!

x

.