Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2012_2013/8mat_1213/spec/10-diophantine-v4.pdf Дата изменения: Sat Feb 9 20:08:29 2013 Дата индексирования: Mon Feb 25 14:27:09 2013 Кодировка: Windows-1251

Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными
Определение.

Гимназия 1543, математический спецкурс, 8 В Занятие 10: диофантовы уравнения

Линейное диофантово уравнение с двумя переменными это уравнение в целых числах вида
ax + by = c

относительно переменных x и y (предполагается, что a и b отличны от нуля). Уравнения, которые требуется решить в целых числах, называются диофантовыми в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского.
Замечание.

1) Докажите, что число x является решением 0) Кузнечик прыгает по числовой прямой. Сначала он делает один или несколько прыжков длины 3 в одну сторону, а затем один или сравнения ax c (mod b) тогда и только тогда, когда для некоторого y выполнено несколько прыжков длины 5 в другую сторону. Как ему попасть из точки 0 в точку 7? Найдите все варианты. ax + by = c. 1) Докажите, что если НОД(a, b) = 1, то уравнение ax + by = 1 разрешимо. 1. Решить сравнение ax c (mod b). 1. Найти какое-нибудь (частное) решение уравнения ax + by = c 2. Выразить y через x по формуле (используя алгоритм Евклида). 2. Найти все решения уравнения ax + by = 0. y = (c - ax)/b. 3. Сложить эти решения. 2) Обоснуйте приведенную схему решения дио- 2) Обоснуйте приведенную схему решения диофантова уравнения, т.е. докажите, что а) полученная таким образом пара чисел x фантова уравнения (формулу из п.2). и y удовлетворяет исходному уравнению; б) таким способом мы получаем все решения данного уравнения.
Схема решения диофантова уравнения: Схема решения диофантова уравнения:

3) 4) 5) 6)

Докажите, что уравнение ax + by = c имеет решение тогда и только тогда, когда НОД(a, Найдите все целые x, y, удовлетворяющие равенству 81x + 23y = 3. Даны углы в 32 и 25 . Как построить угол в 1 ? Сколько точек с целыми координатами расположено на прямой
y= 6 8 x+ 13 13

b) | c

.

при -100 x 50? 7) На площади стоят дяди и т?ти. У каждого дяди в кармане было 13 рублей, у каждой т?ти 23 рубля. По площади прош?л вор и незаметно украл все деньги. Какое наибольшее количество людей могло стоять на площади, если вор украл всего 2011 рублей? 8) На складе 3000 шкафов. Розовый шлюбзик умеет носить 7 шкафов, а лысый шпегльморгер 20 шкафов. Сколькими способами можно послать отряд шлюбзиков и шпегльморгеров, чтобы они за один раз вынесли весь склад и каждый из них был загружен полностью? 9) Ответьте на вопрос: Шли сорок мышей, несли сорок грошей, Две мыши поплоше несли по два гроша, Немало мышей вообще без грошей. Большие совсем тащили по семь. А остальные несли по четыре. Сколько мышей шли без грошей? (И. Акулич. ?Квант?, 4, 1995) 10) 11) 12) 13) 14)

Более сложные уравнения
Решите Решите Решите Решите Решите в в в в в целых числах целых числах целых числах целых числах натуральных

уравнение 2x + 3y + 5z = 13. уравнение xy + 3x - 5y + 3 = 0. уравнение 2x2 + 5xy + 3y2 = 21. уравнение x + y = x2 - xy + y2 . числах уравнение 2x + 7 = y2 .