Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_7_0708/text05.ps Дата изменения: Mon Sep 1 19:56:21 2008 Дата индексирования: Sat Sep 6 23:50:53 2008 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Гимназия 1543, Вечерняя математическая школа, 7 класс, 15 ноября 2007, занятие 5.
Инвариант.
Есть, то, что не меняется с годами,
Хотя приходит время перемен.
И если кто-то гонится за днями,
Он не увидит замкнутость систем.
Максим Семёнов
Начнём с задачи, которую мы долго обсуждали на втором занятии: Кузнечик прыгает по прямой,
каждый прыжок длиной 1 см. Может ли он через 25 прыжков вернуться на старое место?
Решение состояло в том, что вернуться в начальную точку можно только после чётного числа прыжков.
Изложим решение в несколько другой редакции. Пусть кузнечик сделал один прыжок. Он находится на
расстоянии 1 (нечётное число) от точки старта. Теперь делаем заявление: "Отныне после каждых
двух прыжков расстояние от кузнечика то точки старта будет нечётным". Если мы наше заявление
обоснуем (а это совсем нетрудно), то и после 24-х прыжков расстояние от кузнечика до места старта
будет нечётным, то есть ненулевым, что нам и надо. Свойство, которое мы указали для процесса
прыжков кузнечика, называется инвариантом (от лат. invariantum { "не меняющийся"). Оно верно
после первого прыжка и не меняется после каждой пары прыжков.
1) Доведите до конца решение задачи про кузнечика: докажите, что найденный нами инвариант |
действительно инвариант.
2) В 100-этажном доме лифт имеет кнопки Ђ+6Ѓ и Ђ-4Ѓ (первая поднимает лифт на 6 этажей, вторая
опускает на 4). Можно ли им пользоваться?
3) После уроков один семиклассник взял лист бумаги и порвал его на 4 кусочка. Другой взял один из
кусочков и порвал его на 4 кусочка, потом был порван ещё один из кусков, и так они долго рвали бумагу,
а потом убежали домой, оставив в классе мусор. Уборщица потом выгребла с пола 2007 кусочков бумаги.
Всё ли она нашла?
4) В одной вершине куба написано число 1, в остальных | нули. Можно прибавлять по единице к числам
в концах любого ребра. Можно ли добиться, чтобы все числа стали равными?
5) Из числа вычли сумму его цифр, из полученного числа | сумму его цифр и так далее, пока не
получилось однозначное число. Какое?
6) На доске выписаны числа от 1 до 21. Можно брать любые два числа, вычитать из большего меньшее
(или из равного равное) и писать разность на доске, а эти два числа стирать. В конце концов останется
одно число. Может ли оно быть нулём?
7) На доске написаны числа от 1 до 20. Можно пару чисел (x; y) заменить на x + y, пока не останется
одно число. Какие числа могут в итоге получиться?
8) Младенец Витя умеет говорить только звуки "А" и "У". Слова, которые он произносит одинаковы по
смыслу, если из одного получается другое заменой друг на друга сочетаний звуков "АУ" и "УУУ", "УА"
и "ААУ", "УУ" и "ААА". Одинаковы ли по смыслу слова "АУУ" и "УАА"?
9) Круглая тарелка разделена на 6 секторов, в каждом секторе лежит селёдка. За ход можно одну
селёдку передвинуть в соседний сектор. Можно ли собрать все селёдки в одном секторе ровно за 20 ходов?
Домашнее задание на 22 ноября.
5.1) В одной вершине куба написано число 1, в остальных | нули. Можно взять вершину куба и
прибавить по единице к числам на других концах рёбер, выходящих из неё. Можно ли добиться, чтобы все
числа стали равными?
5.2) В углу квадрата 4 в 4 стоит минус, в остальных | плюсы. Можно заменять все знаки в любом
столбце или строке на противоположные. Удастся ли получить таблицу из одних плюсов?
5.3) К числу можно прибавлять сумму его цифр. Можно ли за несколько шагов получить из единицы
число 123456?
Специальная задача ‚5.
На доске написаны числа от 1 до 20. Можно пару чисел (x; y) заменить на x+y+xy, пока не останется
одно число. Какие числа могут в итоге получиться?