Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_7_0708/text19.ps Дата изменения: Mon Sep 1 19:56:08 2008 Дата индексирования: Sat Sep 6 23:52:42 2008 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

Гимназия 1543, Вечерняя математическая школа, 7 класс, 28 февраля 2008, занятие 19.
Выборы.
Каждый выбирает для себя
Женщину, религию, дорогу,
Дьяволу служить или пророку, |
Каждый выбирает для себя.
Юрий Левитанский
На схематичном примере посмотрим, как устроены некоторые простые избирательные системы. Пред-
положим, что на должность Генерального Секретаря Союза Стабильности претендуют 4 кандидата: Ан-
дрей, Владимир, Геннадий и Дмитрий. В голосовании участвует 27 избирателей | членов Секретариата
Союза Стабильности. Каждый составляет список своих предпочтений, расставляя по местам четверых
кандидатов. В результате получилась такая таблица предпочтений:
Избиратели
Место 12 7 5 3
1 Д Г В А
2 Г В А В
3 В А Д Г
4 А Д Г Д
1) Наиболее примитивной является система относительного большинства, когда от каждого избира-
теля учитывается только голос за того, кого он поставил на первое место; набравший большинство голосов
считается победителем. Иногда устанавливается квота | процент голосов, который должен превзойти
победитель, иначе два лучших выходят во второй тур. Кто победит по этой системе в нашем примере?
Какова минимальная квота (целое число процентов) для назначения второго тура? Кто выйдет во второй
тур?
2) Французский офицер и учёный Борда (Jean Charles de Borda, 1733 { 1799) предложил правило Борда
| избирательную систему, при которой от каждого бюллетеня кандидатам начисляются очки (последнему
0, предпоследнему 1 и так далее), а потом очки суммируются. Каковы будут итоги выборов по правилу
Борда? Устойчиво ли правило Борда к шкале очков: что будет, если аутсайдеру давать не 0, а, например,
1 очко, следующему { 2 и так далее?
3) Последовательное попарное голосование | избирательная система, при которой устанавлива-
ется некий порядок кандидатов (список голосования), после чего два первых кандидата сравниваются,
проигравший выбывает, с победителем сравнивается третий и так далее. Кто победит при установленном
списке Д,Г,В,А? Зависит ли результат от списка? Может быть, у Вас есть мнение, как составлять список,
чтобы это выглядело наиболее разумным?
4) Английский адвокат Томас Хар (Thomas Hare, 1806 { 1891) предложил систему голосования, получив-
шую название система единственного передаваемого голоса. Здесь сначала исключается кандидат,
которого наименьшее число избирателей ставят на первое место, а оставшиеся продвигаются в списках
вверх. Снова исключается наиболее слабый кандидат и так далее. Кто станет Генеральным Секретарём по
системе Хара?
5) Оказывается, система Хара имеет большой недостаток: если какие-то избиратели изменят порядок
предпочтения в пользу победителя (то есть поставят его на более высокое место в рейтинге), то он может
"вылететь" (хотя , казалось бы, его позиции стали только прочнее). Покажите это на примере.
Теперь несколько разных задач о выборах.
6) Социологи провели опрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из опрошенных a% сочли,
что будет лучше, b% | что будет такой же, и c% | что будет хуже. В таких опросах обычно вычисляют два
"показателя оптимизма": M = a+ b
2
(смысл этого показателя в том, что люди, давшие нейтральный прогноз,
учитываются как "полголоса за") и N = a - c (смысл этого показателя | превосходство оптимистов над
пессимистами). Оказалось, что M = 40%. Найдите N .
1

7) В телепередаче "Навстречу выборам" 4 кандидата в президенты рассказывали о себе. Через некоторое
время один сказал: "До меня соврали один раз". Другой сказал: "А теперь | дважды". "А теперь |
трижды" | сказал третий, а четвёртый сказал: "А теперь соврали 4 раза". Тут ведущий прервал дискуссию.
Известно, что один из кандидатов правильно сказал, сколько раз соврали до него. Определите, сколько раз
всего соврали кандидаты за время телепередачи?
8) В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за ко-
торые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места
распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый
избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и
т.п. не было). При этом партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее количество
мест в парламенте она может получить?
9) В Северной Балбесии прошли выборы президента, в которых участвовали все жители. Победитель
получил более половины голосов, при этом за него голосовали 99% малограмотного населения и 1% гра-
мотного. Докажите, что если бы 35% грамотного населения вообще не пошли бы на выборы, то президент
получил бы более чем 60% голосов (от числа пришедших на выборы).
Домашнее задание.
19.1) В Южной Балбесии проходят выборы президента. Выборы считаются состоявшимися, если про-
голосовало более 60% избирателей. В день голосования, в 18 часов, власти, опасаясь недостаточной явки,
развернули в СМИ мощную агитационную кампанию "Как, ты ещё не проголосовал? Ну-ка бегом на уча-
сток!" и добились, что к 22 часам (к закрытию участков) проголосовало 20% тех, кто не проголосовал к
18 часам. После закрытия участков выяснилось, что так и не проголосовали 32% избирателей. Стоило ли
властям нагнетать истерию, или уже в 18 часов требуемая явка и так была достигнута?
19.2) Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов.
На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя
бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат,
фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в
одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.
19.3) Французский математик и политический деятель времён Великой Французской революции, Жан
Кондорсе (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet, 1743-1794) занимался и теорией
голосований. Кандидат, который "в личных встречах" побеждает всех своих соперников называется побе-
дителем по Кондорсе, а тот, кто каждому уступает | проигравшим по Кондорсе. Избирательная
система удовлетворяет условиям Кондорсе, если победитель по Кондорсе (если таковой есть) в ней
обязательно побеждает, а проигравший по Кондорсе (опять же, если такой имеется) | непременно про-
игрывает. Удовлетворяют ли избирательные системы, описанные в задачах 1 { 4, условиям Кондорсе?
Специальная задача ‚17.
В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских вы-
боров. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Ми-
рафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой
стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими" . "Демократическим голосованием" Мира-
флорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь
разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на раз-
ное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах
выбирают представителя группы | выборщика | для голосования в большей группе: выборщики в этой
большей группе выбирают выборщика для голосования в ещё большей группе и т.д. Наконец, представите-
ли самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес делит избирателей на группы по своей воле
и инструктирует своих сторонников, как им голосовать. Сможет ли он так организовать "демокра-
тические" выборы, чтобы его выбрали? (В каждой группе выборщики выбирают своего представителя
простым большинством. При равенстве голосов побеждает оппозиция.)