Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_7_1213/short.pdf Дата изменения: Tue Mar 5 00:06:36 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 22:57:33 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Гимназия 1543, ВМШ 7 класс

Список номер раз

Напоминаем, что номер 4.6 означает 6ая задача 4ой серии, f означает задание на осенние каникулы, w на зимние. Заметим, что предложенный список лишь некоторые общие названия для семейств задач. В билете вам будет предложено рассказать решение одной или нескольких задач, указанных в скобках, возможно, с небольшими измененниями, не влияющими на рассуждения.

1. 2.

Суммирование (задачи 1.7, 2.5). Признаки равноостаточности при делении на 2, 4, 8 и другие степени двойки

(задачи 4.2, f.2c).
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Признаки равноостаточности при делении на 3, на 9 (задачи 4.3, f.2b). Правила сложения и умножения остатков (задачи 3.1c, 4.4a, f.2a). Принцип Дирихле (задачи 3.2, 7.7). Комбинаторика (задачи f.5, 7.1, 7.2). Комбинаторика. Перестановки, факториал (задачи 6.4, 8.1). Комбинаторика. Идея дополнения (задачи 6.3b, 9.1). Графы. Лемма о рукопожатиях (задачи 9.2, 15.7). Раскраски (задачи 13.4, 16.4).

Материалы, а также полезная информация есть на сайте:

http://www.mccme.ru/s43/math/


1.

Суммирование (задачи 1.7, 2.5).

ћ ћ
2.

Найдите, пожалуйста, сумму натуральных чисел от 1 до 1543. Найдите, пожалуйста, сумму нечетных чисел от 1 до

2n - 1

. (Ответ выразите

в зависимости от

n.)

Признаки равноостаточности при делении на 2, 4, 8 и другие степени двойки

(задачи 4.2, f.2c).

ћ

a) Докажите, что если из числа вычесть число образованное двумя его последb) Докажите, что если из числа

ними цифрами, то получится число кратное 4. кратное 16.

вычесть число образованное четырмя его последними цифрами, то получится число

Комментарий. Заметим, что из этой задачи и идеи из 4ой серии следует, что число дает
такой же остаток при делении на 4 как и число, образованное двумя его последними цифрами.

ћ
3.

Вычислите остаток при делении c) 354169888123 на 4.

Признаки равноостаточности при делении на 3, на 9 (задачи 4.3, f.2b).

ћ ћ
4.

Докажите, что четырехзначное число и сумма его цифр дают одинаковые b) на 9. Вычислите остаток при делении b) 354169888123 на 9.

остатки при делении a) на 3;

Правила сложения и умножения остатков (задачи 3.1c, 4.4a, f.2a).

ћ ћ ћ
5.

Найдите остаток от деления c)

9

100

на 8

Вычислите остаток при делении a) Вычислите остаток при делении a)

88 ћ 35 ћ 43 + 74 ћ 71 на 3. 1989 ћ 1990 ћ 1991 + 19923

на 7.

Принцип Дирихле (задачи 3.2, 7.7).

ћ

a) Докажите, что из любых 11 чисел можно выбрать два, разность между b) Докажите, что из любых 20 чисел можно выбрать

которыми делится на 10.

два, разность между которыми делится на 19.

ћ

На квадратной площади со стороной 1 км стоит 51 памятник И.П.Г.Л. Дири-

хле. Докажите, что какие-то три памятника помещаются на квадратном участке со стороной 200 м.
6.

Комбинаторика (задачи f.5, 7.1, 7.2).

ћ ћ

В магазине "Все для чая" продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Ксения Юрьевна посчитала, сколько существует 6-значных чисел, все цифры

Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями? которых имеют одинаковую четность. Докажите, что вы тоже можете это сделать посчитайте!

ћ
7.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две (одинаковые)

ладьи так, чтобы они не били друг друга? Комбинаторика. Перестановки, факториал (задачи 6.4, 8.1).

ћ ћ

Имеется 8 полотен различных цветов. Сколькими способами можно сшить из Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове a) МАМА; b) МА-

них флаг, состоящий из 8 различных горизонтальных полос? ТЕМАТИКА? (Словом называется произвольная последовательность букв.)


8.

Комбинаторика. Идея дополнения (задачи 6.3b, 9.1).

ћ ћ

b) Сколько существует 9-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последова-

четверка? тельность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?
9.

Графы. Лемма о рукопожатиях (задачи 9.2, 15.7).

ћ

Несколько друзей гномов встречаются по двое и выпивают на двоих одну бу-

тылку кефира. Докажите, что гномов, которые пили нечетное количество раз всегда четное количество.

ћ
10.

Можно ли в квадрате

5Ч5

закрасить 15 клеток так, чтобы у каждой закра-

шенной клетки было нечетное число закрашенных соседей? Раскраски (задачи 13.4, 16.4). a) Хромой король (король не может ходить по диагоналям) обошел несколько

ћ

клеток шахматной доски и вернулся на прежнее поле. Докажите, что количество ходов, сделанных королем, четно. b) Можно ли обойти хромым корол?м все клетки шахматной доски, начав в левом нижнем углу и закончив в правом верхнем углу?

ћ

Можно ли квадрат

10 Ч 10

разрезать на фигурки вида

?