Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_7_1213/winter.pdf Дата изменения: Wed Jan 16 20:24:32 2013 Дата индексирования: Mon Feb 4 23:28:23 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Гимназия 1543, ВМШ 7 класс

1.

Докажите, что

Постапокалиптические

Задачи на каникулы

20.12.12

n3 - n

делится на 24 при любом нечетном n.

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, две ладьи, два слона и два коня)? Каждая из девочек после отбоя не более двух раз поболтала по телефону. Докажите, что их можно разбить на три группы так, чтобы в каждой группе не было болтавших девочек. Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что найдется отрезок ненулевой длины, середина и концы которого окрашены в один цвет. Каких 7-значных чисел больше: тех, в записи которых есть 1, или остальных? a, b, c натуральные числа, причем a + b + c делится на 24. Докажите, что 3 a + b3 + c3 тоже делится на 24. a и b натуральные числа, причем число a2 + b2 делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441. В некоторой стране любые два города соединены либо железной дорогой, либо авиалинией. Докажите, что одним из этих двух видов транспорта можно добраться из любого города в любой другой, сделав не более двух пересадок. a) p, p + 10, p + 14 простые числа. Найдите p. b) p, 2p + 1, 4p + 1 простые числа. Найдите p.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Подсказка: Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.