Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_7_1213/11.pdf Дата изменения: Wed Jan 16 20:24:36 2013 Дата индексирования: Mon Feb 4 21:30:10 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: рпмопмхойе

Гимназия 1543, ВМШ 7 класс

Предновогодняя

Серия 11

20.12.12

10.1.

В стране Семерка 15 городов, каждый из которых соединен дорогами не

менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).
1.

В новогоднюю ночь Дед Мороз поставил на подоконнике в ряд (слева направо)

крокус, фикус и кактус. Каждое утро Ваня, вытирая пыль, меняет местами цветок справа и цветок в центре. Днем Таня, поливая цветы, меняет местами тот, что в центре, с тем, что слева. В каком порядке будут стоять цветы через 365 дней в следующую новогоднюю ночь?
2.

Доска имеет форму креста, который получается, если из квадратной доски

4Ч4

выкинуть угловые клетки. Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходное поле, побывав на всех полях ровно по разу?
3.

Несколько шахматистов играют в однокруговой турнир по шашкам. Вечером

одного из дней соревнований, попивая чай, каждый из них назвал сколько он сыграл партий на данный момент. Докажите, что какие-то два шахматиста назвали одно и то же число.
4.

У каждого пациента спецлечебницы 239 ровно один друг и ровно один враг.

Докажите, что их можно разделить на две нейтральные палаты. (То есть так, чтобы у каждого пациента в палате не было ни друзей, ни врагов.)
5.

У Коли и Юры были одинаковые прямоугольные открытки с одной стороной

12 см. Коля разрезал открытку на две равные прямоугольные половинки, одну половинку выкинул, другу снова разрезал на две равные прямоугольные половинки и одну половинку выкинул. Юра разрезал свою открытку на две равные прямоугольные половинки, и одну половинку выкинул. Выяснилось, что оставшиеся у Коли и Юры прямоугольники имеют одинаковый периметр. Чему могла быть равна другая сторона открытки?
6.

В мешочек с подарками Снегурочка положила 9 мешочков поменьше. В каждый

из вложенных мешкочков либо положили 9 еще поменьше, либо ничего не положили. В каждый из меньших опять положили или 9, или ни одного, и т.д. После этого оказался ровно 251 мешочек с содержимым. А сколько пустых?
7.

Для натуральных

x, y , z

известно, что

x2 + y 2 = z

2

. Докажите, что хотя бы одно

из них делится на 4.

Материалы, а также полезная информация есть на сайте:

http://www.mccme.ru/s43/math/