Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_7_1415/Vmsh_05=oct_30_lite.pdf Дата изменения: Thu Oct 30 14:17:07 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 20:36:13 2016 Кодировка: koi8-r

Московская Гимназия на Юго-Западе 1543

1. Найдите сумму чисел от 1543 до 2014. 2. Докажите, что n2 + 1 не делится на три ни при каком натуральном n. 3. а) Докажите, что если из числа вычесть число о бразованное двумя его последними цифрами, то получится число кратное 4. б) Докажите, что если из числа вычесть число о бразованное четырмя его последними цифрами, то получится число кратное 16. 4. Вычислите остаток при делении в) 4 + : : : + 1543 на 19; а) 88 · 35 · 43 + 74 · 71 на 3; 100 на 7; г) 214 + 215 + 216 + 217 на 15. б) 3 5. Найдите все натуральные n, для которых числа 3n - 4, 4n - 5 и 5n - 3 являются простыми. 6. Прямоугольник, у которого одна из сторон втрое длиннее другой, разрезали на одинаковые квадратики. Оказалось, что сумма их периметров в шесть раз больше периметра исходного прямоугольника. Сколько могло получиться квадратиков? 7. В школе учатся только отличники и двоечники. На вопрос "Сколько...?" отличник всегда отвечает верно, а двоечник ошибается на 2. Учеников Петю и Васю спросили, сколько в школе отличников и сколько двоечников. Петя ответил: "Если не считать меня, у нас 126 двоечников и 177 отличников". Вася ответил: "Если не считать меня, у нас 125 двоечников и 174 отличника". Сколько на самом деле в школе отличников и сколько двоечников? Как учатся Петя и Вася? 8. Имеется последовательность из 2014 цифр, начинающаяся с тройки. Каждые две последовательные цифры о бразуют двузначное число, делящееся либо на 17, либо на 23. Какая цифра может стоять на последнем месте?

Серия 5-Lite. 30 октября.

ВМШ

2014-2015

Материалы, а также полезная информация есть на сайте: http://s43.mccme.ru/math/ Московская Гимназия на Юго-Западе 1543

1. Найдите сумму чисел от 1543 до 2014. 2. Докажите, что n2 + 1 не делится на три ни при каком натуральном n. 3. а) Докажите, что если из числа вычесть число о бразованное двумя его последними цифрами, то получится число кратное 4. б) Докажите, что если из числа вычесть число о бразованное четырмя его последними цифрами, то получится число кратное 16. 4. Вычислите остаток при делении в) 4 + : : : + 1543 на 19; а) 88 · 35 · 43 + 74 · 71 на 3; г) 214 + 215 + 216 + 217 на 15. б) 3100 на 7; 5. Найдите все натуральные n, для которых числа 3n - 4, 4n - 5 и 5n - 3 являются простыми. 6. Прямоугольник, у которого одна из сторон втрое длиннее другой, разрезали на одинаковые квадратики. Оказалось, что сумма их периметров в шесть раз больше периметра исходного прямоугольника. Сколько могло получиться квадратиков? 7. В школе учатся только отличники и двоечники. На вопрос "Сколько...?" отличник всегда отвечает верно, а двоечник ошибается на 2. Учеников Петю и Васю спросили, сколько в школе отличников и сколько двоечников. Петя ответил: "Если не считать меня, у нас 126 двоечников и 177 отличников". Вася ответил: "Если не считать меня, у нас 125 двоечников и 174 отличника". Сколько на самом деле в школе отличников и сколько двоечников? Как учатся Петя и Вася? 8. Имеется последовательность из 2014 цифр, начинающаяся с тройки. Каждые две последовательные цифры о бразуют двузначное число, делящееся либо на 17, либо на 23. Какая цифра может стоять на последнем месте?

Серия 5-Lite. 30 октября.

ВМШ

2014-2015

Материалы, а также полезная информация есть на сайте: http://s43.mccme.ru/math/