Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_6_1112/krug-2011-605-OTA.pdf Дата изменения: Wed Nov 16 22:47:07 2011 Дата индексирования: Tue Feb 5 03:04:23 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Гимназия 1543. Математический кружок для 6 класса.

Занятие 5

10 ноября 2011г.

Простые числа. Разложение на множители
Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число, отличное от 1, можно разложить на простые множители, Это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Можете ли Вы доказать первую часть теоремы (про возможность)? А вторую (про единственность)? Пример 1. Проверьте с помощью признаков делимости, делится ли число

33824868

на

2

, на

3,

на

4

, на

5

? А на

6

? А на

8? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
и

Пример 2. Учительница рассказала первоклассникам, какие числа называются простыми. Отличница Маша тут же нашла все простые числа среди первых двадцати:

19

. Но как быть дальше? Никаких вычислений с числами больше

20

в первом классе не проходят!

Может ли Маша, хорошенько подумав, определить без вычислений, простым или составным является число

2 ћ 3 ћ 5 ћ 7 ћ 11 ћ 13 ћ 17 ћ 19 + 1

? А может ли она убедиться в существовании простых

чисел кроме тех, что она уже знает? Пример 3. В комитет по распределению грантов среди ученых поступила заявка: "Дайте мне

$100 000,

и я найду все простые числа". Стоит ли удовлетворять такую заявку?

1. Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится на Найдите их сумму. 2. Верно ли, что если число делится и на 3. Верно ли, что если число делится и на 4. Число делится и на делится? 5. Чтобы узнать, является ли число

10,

равно

1000.

3 4

, и на , и на

4 6

, то оно делится и на , то оно делится и на

12 24

? ?

12

, и на

18.

На какое наибольшее натуральное число оно

наверняка

901
.

простым, его стали последовательно делить на

2, 3, 5

и т. д. На каком простом числе можно прекратить испытания? 6. Решите ребус:

БАО ћ БА ћ Б

= 2002

7. На сколько нулей оканчивается число а)

10!

; б)

80!

?

(Запись n! означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n и читается "энфакториал")
8. а) Может ли факториал какого-либо числа оканчиваться ровно на б) Факториалы каких чисел оканчиваются ровно на

5

нулей?

7

нулей?

9. а) Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел четно; б) Докажите, что произведение трех последовательных натуральных чисел кратно в) А что можно сказать про произведение

6;

4, 5, n

идущих подряд натуральных чисел?

10. а) В каждом из трех мешков лежат конфеты. Суммарное количество конфет в любых двух из них кратно

3.

Докажите, что общее количество всех конфет тоже кратно

3. 4
.

б) В каждом из четырех мешков лежат конфеты. Суммарное количество конфет в любых трех из них кратно

4

. Докажите, что общее количество всех конфет тоже кратно

в) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для

n

мешков.

11. Сережа говорит, что знает такие два простых числа, что и их сумма, и их разность тоже являются простыми числами. Гоша поспорил с ним на мороженое, что такого не бывает. А Игорь поспорил на шоколадку, что с первого раза угадает эти числа. Кому достанется мороженое и кому шоколадка?

Сверхзадача 5.

Существуют ли

100

идущих подряд составных натуральных чисел?