Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_6_1112/krug-2011-612-podschet-2.pdf Дата изменения: Thu Jan 12 14:32:06 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 03:20:29 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: trees

Гимназия 1543. Математический кружок для 6 класса.

Подсчет двумя способами

Занятие 12

12 января 2012г.

1. В каждой клетке прямоугольной таблицы стоит число. Сумма чисел в каждом столбце равна 10, а в каждой строке 20. Сколько в таблице строк, если столбцов восемь? 2. По кругу вбито 7 гвоздей. Рядом с каждым написано число. Можно ли натянуть между некоторыми гвоздями веревочки так, чтобы количество веревочек, идущих от каждого гвоздя соответствовало написанному числу? Решите задачу для двух наборов чисел: а) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4; б) 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4. 3. а) Раскрасьте клеточки доски 4 Ч 4 так, чтобы у каждой черной клеточки были две белые соседки , а у каждой белой две черные соседки. Соседками называются клетки, имеющие общую сторону. б) Можно ли раскрасить с тем же условием клеточки доски 3 Ч 3? в) При каких n можно раскрасить клеточки доски n Ч n так, чтобы у каждой черной клеточки были две белые соседки, а у каждой белой две черные соседки? 4. В классе 30 человек. Марья Ивановна думает, что 5 человек дружат всего лишь с двумя одноклассниками, еще 6 с тремя, 12 человек с четырьмя, а остальные дружат с пятью одноклассниками. Хорошо ли Марья Ивановна знает свой класс? 5. В гимназии 543 ученика. Докажите, что хотя бы у одного из них четное число друзей в Контакте среди гимназистов. 6. На кошачьей выставке каждый посетитель погладил ровно трех кошек. При этом оказалось, что каждую кошку погладили ровно два посетителя. Кого было больше: кошек или посетителей? Во сколько раз? 7. Четыре девочки: Катя, Лена, Маша и Нина участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен больше всех, а Лена 5 песен меньше каждой из остальных. Сколько песен было спето? 8. Вася говорит, что ровно 37 штатов США граничат с нечетным числом штатов. Прав ли Вася? 9. Сто пиратов переносили на берег сундуки с сокровищами. Каждый сундук несли семеро пиратов. Капитан Сильвер считает, что все пираты заработали поровну, поскольку каждый участвовал в переноске 65 сундуков. Докажите, что капитан ошибся. 10. а) Дано 15 чисел. Известно, что сумма любых четырех из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна? б) В ряд записано 15 чисел. Известно, что сумма любых четырех подряд идущих чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна? 11. а) Можно ли занумеровать ребра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров ребер, которые в ней сходятся, была одинаковой? б) Аналогичный вопрос, если расставлять по ребрам куба числа 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Специальная задача 12. На шахматной доске стоят 8 ладей, три на черных клетках, пять на белых. Докажите, что какие-то две бьют друг друга.