MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Исторически комплексные алгебраические многообразия были введены впервые в связи с теорией интегралов аналитических функций (в теории эллиптических и, более общим образом, абелевых интегралов). Доклад посвящен теории интегралов на некоммутативных многообразиях, которые возникают в связи с зеркальной симметрией.

В начале 90-х годов в квантовой теории поля была открыта неожиданная двойственность между семействами 3-мерных комплексных алгебраических многообразий, допускающих голоморфный элемент объема. А именно, было экспериментально обнаружено, что в большом количестве примеров для любого многообразия из данного семейства числа, описывающие геометрию рациональных голоморфных кривых на нем, (инварианты Громова--Виттена) совпадают с коэффициентами Тейлора функции, заданной интегралами голоморфных элементов объема на многообразиях из "зеркально" двойственного семейства.

Аналогичный феномен имеет место для многообразий размерности больше трех. Оказывается, что в старших размерностях для написания явных формул зеркальной симметрии необходимо рассмотреть деформации комплексных алгебраических многообразий, выводящие за пределы "мира коммутативных многообразий". А именно, рассматриваются деформации, являющиеся объектами, которые локально описываются алгебрами, в которых нарушено условие коммутативности, а вместо условия ассоциативности имеется семейство условий ассоциативности с точностью до гомотопии (A_∞-алгебры). Для связи с коммутативным миром используется теорема формальности М.Концевича. Оказывается, что для таких некоммутативных многообразий можно построить теорию периодов, параллельную теории вариаций структур Ходжа для обычных комплексных алгебраических многообразий. Роль фильтрации Ходжа играет полубесконечное пространство в H^*(X,C)[[h^±1]], принадлежащее грассманиану Сигала-Вилсона известное по теории тау-функций (интегрируемые системы) и теории представлений алгебр Каца-Муди.

Все необходимые понятия будут введены в течение доклада.

Московское Математическое Общество