Новости

версия для печати

Заседание Московского Математического Общества 12 декабря 2006 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16–24 Главного здания МГУ).

В.И. Арнольд
Статистика чисел Фробениуса аддитивных полугрупп и геометрия цепных дробей.

Числом Фробениуса $N(a, b, \ldots, c)$ положительных целых чисел $a$, $b$, \dots (в количестве $n$ штук) называется наименьшее целое число, представимое, как и все б\’ольшие его числа, в виде суммы слагаемых вида $a$, $b$, \dots (с неотрицательными целыми кратностями). Мы предполагаем, что наибольший общий делитель чисел $a$, \dots, $c$ есть $1$. Сильвестр доказал, что $N(a,b)=(a-1)(b-1)$. Но уже для $N(a,b,c)$ общей формулы нет.

В докладе будет обсуждаться рост числа Фробениуса $N$ с ростом суммы $S$ всех $n$ аргументов $(a, b, \ldots, c)$. Несколько лет назад я доказал, что $$const\,S^u\le N\le S^2\,,$$ где $u=1+\frac{1}{(n-1)}$ (для трех аргументов $const\,S^{3/2}\le N\le S^2$).

Соображения автомодельности для этой арифметической турбулентности привела меня к гипотезе (опубликованной в 1999 году), что в среднем (по симплексу $a+\ldots+c=S$) число Фробениуса растет как $S^u$.

Проведенные по моей просьбе в Силиконовой Долине компьютерные эксперименты подтвердили средний рост порядка $S^{3/2}$ для $a+b+c = 41, 97\mbox{ и }199$.

Упомянутые экспериментальные данные были вычислены при помощи неожиданной связи чисел Фробениуса с геометрией цепных дробей (обычных при $n=3$ и многомерных при б\’ольшем числе аргументов). Об этой связи также будет рассказано в докладе (хотя описанное выше поведение средних остается не доказанной теоремой, а лишь подтвержденной миллионами примеров гипотезой физического характера).

Некоторые ослабленные варианты моих гипотез о числах Фробениуса недавно доказал Я.Г. Синай, но он сообщил мне, что сами мои исходные гипотезы «слишком трудны».

Московское Математическое Общество

Последние обновления