невыпуклый - выпуклый
24.10.2000 0:00 |
МЦНМО
На плоскости дан невыпуклый n-угольник
с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние
вершины n-угольника,
разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A.
Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины
отрезка AB.
При этом получится новый многоугольник.
Если он по-прежнему невыпуклый, то
с ним разрешается производить аналогичную операцию.
Докажите, что рано или поздно в результате таких операций
получится выпуклый многоугольник.
Хочу подсказку
Решение:
Набор из n векторов, соответствующих сторонам n-угольника,
после выполнения данной операции остается неизменным, изменяется
лишь порядок следования этих векторов.
Поэтому в результате проведения операций мы будем получать только
многоугольники из конечного числа n-угольников
(их не более (n-1)!=(n-1)*(n-2)...*2*1), в которых
векторы, соответствующие сторонам, образуют фиксированный набор.
Заметим, что при данной операции площадь n-угольника увеличивается.
Поэтому когда-нибудь мы придем к многоугольнику, для которого
выполнение указанной операции невозможно.
Этот многоугольник обязан быть выпуклым (если он невыпуклый, то
найдется прямая,
проходящая через две его несоседние вершины,
относительно которой n-угольник расположен целиком по одну сторону,
и поэтому возможно произвести указанную операцию).
Написать комментарий
|
