Теорема Коши

Выпускника знаменитой парижской Политехнической школы Огюстена Луи Коши (1789--1857) " по его блестящим достижениям во всех областях математики можно поставить почти рядом с Гауссом". Эта оценка французскому математику, данная немецким математиком Феликсом Клейном, очень весома, особенно если учесть, что взаимоотношения между французскими и немецкими математиками развивались в атмосфере острой конкуренции, и признание заслуг соперников никогда не отличалось щедростью. Гигантское научное наследие Коши занимает 25 внушительных томов и включает около 800 работ. Он так часто представлял свои работы в журнал Парижской академии наук Comptes Rendus, что академия решила сократить объем публикуемых статей до четырех страниц. Результаты Коши, принесшие ему славу великого математика, относятся в основном к математическому анализу, алгебре, математической физике, механике. Его исследования по геометрии могли бы остаться в тени его достижений в этих областях, если бы не работа " О многоугольниках и многогранниках", опубликованная в 1813 году. В этой работе как раз и была доказана знаменитая теорема о выпуклых многогранниках.

Под многогранником понимается множество M плоских многоугольников --- граней, расположенных в пространстве так, что

(1) каждая сторона любого из них является стороной в точности еще одного многоугольника;

(2) от каждого многоугольника из M к любому другому можно пройти по цепочке многоугольников из M, в которой последовательные многоугольники имеют общую сторону;

(3) если два многоугольника имеют общую вершину, то соединяющую их цепочку можно составить из многоугольников, которые все имеют эту вершину.

Рис. 1.

Например, фигуры, изображенные на рис. 1, являются многогранниками, совокупность же многоугольников на рис. 2 не является многогранником, потому что условие (1) нарушается для стороны AB; для многоугольников ABCD и DEF нет соединяющей их цепочки, т. е. не выполняется условие (2); условие (3) не выполняется в вершине G.

Рис. 2.

Два многогранника равны, или конгруэнтны, если их можно совместить движением. Вспомним, что многогранник называется выпуклым, если для каждой его грани плоскость, проходящая через эту грань, оставляет все остальные грани многогранника по одну сторону от этой плоскости.

Теорема Коши о единственности. Два выпуклых многогранника с соответственно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны.

Вернемся к многогранникам, показанным на рис. 1. Башня с четырехскатной крышей на кубическом основании и башня с продавленной крышей составлены из соответственно равных граней, примыкающих друг к другу в одном и том же порядке. Но они не равны друг другу. Один из них невыпуклый, а, как доказал Коши, в классе выпуклых многогранников подобная ситуация невозможна.

Эта теорема объясняет, почему модель выпуклого многогранника не деформируется, или, как еще говорят, не изгибается. Многогранник, который может непрерывно деформироваться так, что его грани остаются плоскими и равными самим себе, а меняются лишь его двугранные углы, называется изгибаемым. Если же такой непрерывной деформации не существует, то многогранник неизгибаем.

Выпуклый многогранник неизгибаем. Действительно, допустим, что выпуклый многогранник M изгибаем. Тогда существует другой, не равный ему многогранник M', двугранные углы которого мало отличаются от соответствующих углов многогранника M. Если отличие углов достаточно маленькое, то многогранник M' также выпуклый. А так как соответственные грани этих многогранников равны, то, по теореме Коши, и сами многогранники конгруэнтны.

Для доказательства своей теоремы Коши предложил новый метод, который, по словам А. Д. Александрова, " представляет собой одно из прекраснейших рассуждений, какие только знает геометрия".

Следующий раздел