Развертки многогранников

Для того чтобы понять смысл теоремы Александрова, необходимо ближе познакомиться с тем, что такое развертка многогранника.

a).
б).
в).
г).
д).
Рис. 13.

Сделаем это на примере разверток куба. Разрежем поверхность куба вдоль всех его ребер. Получим шесть квадратов, у которых склеиваемые стороны и вершины отмечены одинаковыми буквами (рис. 13, а). Эта совокупность квадратов является разверткой куба. Но это --- особая развертка. Каждый ее многоугольник --- это грань многогранника. А каждая сторона многоугольника (вместе с еще одной стороной другого многоугольника) --- это ребро многогранника. Вершины развертки, отмеченные одной буквой, склеиваются в одну вершину многогранника.

Склеив между собой некоторые многоугольники по одноименным сторонам, получаем другую, хорошо известную, крестообразную развертку куба (рис. 13, б). Она состоит лишь из одного многоугольника с 14 вершинами и таким же количеством сторон. Отмеченные одинаковыми буквами вершины и стороны склеиваются между собой. На этой развертке грани куба уже не представлены в виде отдельных многоугольников. Не представлены на ней также и некоторые ребра, но представлены все вершины.

Теперь, вместо того чтобы склеивать квадратные грани между собой, разрежем каждую из них на четыре треугольника. Получим новую развертку куба, состоящую из 24 треугольников (рис. 13, г). Каждый треугольник --- это лишь часть грани куба. В этой развертке мы сталкиваемся с новым для нас обстоятельством: не все стороны развертки являются ребрами многогранника и не все вершины развертки являются вершинами многогранника.

Эти 24 треугольника можно склеить вдоль отождествляемых сторон и по-другому (рис. 13, д). В этой развертке, состоящей из единственного многоугольника, ни одна из сторон не является истинным ребром куба, который получается из этой развертки.

Теперь дадим определение развертки. Пусть имеется несколько многоугольников, у которых каждая сторона отождествлена с одной и только одной стороной того же или другого многоугольника этой совокупности. Это отождествление (или склеивание) сторон должно удовлетворять еще двум условиям:

1) отождествляемые стороны имеют одинаковую длину;

2) от каждого многоугольника к любому другому можно перейти, проходя по многоугольникам, имеющим отождествленные стороны.

Совокупность многоугольников, удовлетворяющая условиям 1) и 2), называется разверткой.

Возьмем на развертке точки X и Y. В силу условия 2) их можно соединить ломаными, переходящими с одного многоугольника развертки на другой через отождествляемые точки границ этих многоугольников. Выберем среди всех ломаных, соединяющих данные точки, самую короткую. Длина кратчайшей ломаной, соединяющей две точки, называется расстоянием между ними на развертке. Кратчайшей ломаной, соединяющей точки X и Y на развертке, показанной на рис. 13, б является ломаная XFY (соответствующая ломаная на поверхности куба показана на рис. 13, в). Всякая кратчайшая состоит из прямолинейных отрезков на многоугольниках развертки. Причем, как нетрудно видеть, два отрезка кратчайшей, подходящие к отождествляемым точкам, составляют с отождествляемыми сторонами равные углы (рис. 13, б). Введенное расстояние удовлетворяет неравенству треугольника: (X,Y)+(Y,Z)(X,Z).

Давайте перекроим теперь эту развертку в новую путем разрезания и склеивания. Точкам X и Y первой развертки будут соответствовать точки X' и Y' новой развертки (рис. 13, д). Расстояние между любыми двумя точками на новой развертке будет тем же, что и расстояние между соответствующими точками на предыдущей развертке. О таких развертках говорят, что они изометричны. Таким образом, если одна развертка получена из другой при помощи разрезания ее многоугольников и склеивания вдоль отождествляемых сторон, то они изометричны друг другу.

Совершенно аналогично, развертка многогранника изометрична самому многограннику (его поверхности). Если X и Y --- точки на развертке, а X' и Y' --- соответствующие им точки на многограннике, то расстояние _р(X,Y) между X и Y на развертке равно расстоянию _м(X',Y') между точками X' и Y', измеренному по поверхности многогранника. Все утверждения, которые можно получить, измеряя расстояния между точками многогранника, составляют так называемую внутреннюю геометрию многогранника.

Идея внутренней геометрии поверхности, в частности внутренней геометрии многогранника, впервые появилась в работах великого немецкого математика Карла Гаусса (1777--1855). Представим себе, что на какой-то поверхности живет некий геометр по фамилии Точкин. Точкин --- это двумерное существо очень небольших размеров, которое может свободно перемещаться по поверхности и измерять расстояния (X,Y) между любыми двумя ее точками X и Y.

Все, что может вывести из этой информации наш геометр, как раз и составляет предмет внутренней геометрии поверхности. С другой стороны, Точкин даже не подозревает о существовании пространства, в котором находится данная поверхность. Тем более он ничего не знает о том, как эта поверхность расположена в пространстве.

а)	б)
Рис. 14.

Мы, обитатели Земли, в отличие от Точкина, живем в трехмерном мире. Мы можем любоваться картиной звездного неба. Стоя на берегу моря и наблюдая, как скрывается за горизонтом корабль, мы можем догадаться о том, что поверхность Земли --- это не плоскость. У Точкина же, повторяем, никакой информации об окружающем пространстве нет. Оставляя за рамками разговора особенности восприятия Точкиным двумерного мира, попытаемся представить, что можно было бы сделать на его месте. Например, можно было бы определить окружность радиуса R с центром O как множество точек на поверхности, удаленных от O на расстояние R. Будь это поверхность многогранника, например куба, Точкин заметил бы, что формула длины окружности или площади круга зависит не только от радиуса, но и от выбора центра. Он обнаружил бы, что длина l(R) окружности с центром в вершине куба выражается как l(R)=3/2R, если R не превосходит длины ребра куба, в то время как окружность с центром не в вершине куба при достаточно маленьком радиусе (меньшем расстояния от центра до ближайшей вершины) имеет длину 2R (рис. 14, а). При больших значениях радиуса зависимость длины окружности от радиуса перестает быть линейной. Давайте, исходя из куба, построим другой многогранник. Для этого " продавим" часть многогранного угла в многогранный угол, симметричный исходному относительно плоскости ABC (рис. 14, б). Нетрудно видеть, что между точками куба и продавленного куба существует взаимно однозначное соответствие, при котором расстояния между соответствующими точками равны. Хотя эти многогранники не конгруэнтны друг другу, их внутренняя геометрия одинакова. Так что если бы наш знакомый геометр заснул на поверхности куба и в спящем состоянии был перенесен на поверхность куба с продавленным углом, то, проснувшись, он бы не заметил никакой разницы.

Следующий раздел