Научная Сеть >> Механика сплошных сред

Наука >> Физика >> Общая физика >> Механика >> Механика сплошных сред | Курсы лекций

Посмотреть комментарии[3]

Добавить новое сообщение

См. также

О.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Вариационные принципы механики

22 января - 93 года со дня рождения Ландау

Механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Введение в физику открытых систем: аттрактор Лоренца

Колебания и волны: Энергия, переносимая звуковой волной.

Введение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Автомодельность

Колебания и волны: Предисловие

Механика сплошных сред. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1998 г.

Содержание

Лекция 4

Движение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса. Число Рейнольдса. Формула Пуазейля. Ламинарное и турбулентное течение. Турбулентность атмосферы. Обтекание тел потоком жидкости. Формула Жуковского. Гидродинамическое подобие. Движение тела со сверхзвуковой скоростью.

Силы вязкого трения.

В предыдущих лекциях мы рассматривали движение жидкости и газа в пренебрежении силами вязкого трения. Между тем, эти силы, действующие между частицами движущейся жидкости, могут кардинальным образом повлиять как на распределение скоростей в потоке жидкости, так и на обтекание жидкостью тел, помещенных в движущийся поток.
Еще Ньютон установил опытным путем, что при скольжении друг относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого трения препятствуют этому скольжению (рис. 4.1). Так, при движении со скоростью v верхней плоскости с площадью S относительно нижней, возникает сила вязкого трения, направленная против движения и равная

$F_\tau=\mu S\frac{v}{h}$

(4.1)

Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу длины в поперечном направлении v/h (градиенту скорости в направлении перпендикулярном движению) и зависит также от вязкости жидкости $\mu$ .

Рис. 4.1.

Формула (4.1) справедлива, если расстояние h между пластинами значительно меньше их линейных размеров $(h\ll\sqrt{S})$ . Важно отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью v (увлекаются пластиной). Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое (прилипают к пластине). Если мысленно разбить жидкость на параллельные плоские слои, движущиеся равномерно, то нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой нижний соседний слой с силой $F_\tau$ . В свою очередь, этот нижний слой тормозит движение верхнего слоя с силой, численно равной $F_\tau$ . На каждый слой действует сверху и снизу две равные, но противоположные силы. Скорость слоев нарастает линейно с их высотой (рис. 4.2), а сила трения передается от одному слоя к другому. Как результат, усилие $F=F_\tau$ , приложенной к верхней пластине, передается на нижнюю пластину. Коэффициент вязкости среды определяется экспериментально, например, по скорости ее истечения через трубку известных размеров. (см. ниже). Как показывает опыт с нагреванием, вязкость жидкости уменьшается, а газов - увеличивается. Объяснение такого разного поведения коэффициента вязкости будет дано в курсе "Молекулярная физика".

Рис. 4.2.

Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.

Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения (3.28) необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к единице объема жидкости. Для того, чтобы избежать лишних выкладок, мы ограничимся рассмотрением двумерного слоистого течения жидкости в направлении оси x, при этом единственная компонента скорости v_x зависит от поперечной координаты y (рис. 4.3). На верхнюю грань dxdz кубика dxdydz (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) в соответствии с (4.1) в направлении оси x действует увлекающая сила $F'_{\tau_x}=\mu dxdz \left. \frac{dv_x}{dy}\right|_{y+dy}$ , а на нижнюю грань - тормозящая сила $F''_{\tau_x}=-\mu dxdz \left. \frac{dv_x}{dy}\right|_{y}$ . Поэтому равнодействующая сил вязкого трения, приложенная к выделенному кубику, равна

$F_\tau=F'_{\tau_x} + F''_{\tau_x}$

(4.2)

а сила, приложенная к единице объема, составит

$f_{\tau_x}=\frac{F_\tau}{dxdydz}=\mu\frac{d^2 v_x}{dy^2}$

(4.3)

При линейном законе изменения скорости по высоте, как на рис. 4.2, $f_\tau=0$ . Если скорость изменяется нелинейно, как на рис.4.3, то $f_\tau\ne 0$ . При трехмерном течении жидкости сила вязкого трения, вообще говоря, имеет три компоненты $f_{\tau}=\{f_{\tau_x}, f_{\tau_y}, f_{\tau_z}\}$ , где

$\begin{array}{l} f_{\tau_x}=\mu \left( \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 v_x}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z^2}\right) = \mu\Delta v_x \\ f_{\tau_y}=\mu \left( \frac{\partial ^2 v_y}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 v_y}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v_y}{\partial z^2}\right) = \mu\Delta v_y \\ f_{\tau_z}=\mu \left( \frac{\partial ^2 v_z}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 v_z}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v_z}{\partial z^2}\right) = \mu\Delta v_z \end{array}$

(4.4)

В (4.4) $\Delta=\frac{\partial ^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 }{\partial z^2}$ - оператор Лапласа, широко применяемый в физике для сокращения записи. Если теперь компоненты силы трения (4.4) подставить в правые части уравнений (3.29) для соответствующих компонент скоростей, то мы получим систему уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Эти три уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения

$\rho\left[ \frac{\partial}{\partial t} + {\bf v}\cdot {\rm grad}\right] {\bf v}= {\bf F} - {\rm grad }\; p + \mu\Delta {\bf v}$

(4.5)

Оно отличается от (3.31) наличием в правой части члена . Уравнение (4.5) называется уравнением Навье-Стокса и является основным при расчете движения вязкой несжимаемой жидкости. Однако в общем случае оно не решается методами современной математики, и на практике приходится ограничиваться решением лишь частных задач. Одной из таких задач является течение невязкой несжимаемой жидкости, подчиняющееся уравнению Бернулли. Ранее мы получили условие, при котором сжимаемостью жидкости или газа можно пренебречь. Теперь мы выясним, в каких случаях можно пренебречь действием сил вязкости.

Рис. 4.3.

Число Рейнольдса. Критерий отсутствия вязкости.

Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя горизонтальными пластинами, расстояние между которыми равно h. Поскольку частицы жидкости "прилипают" к пластинам, то скорость слоев текущей жидкости будет различной. Качественно распределение скоростей слоев изображено на рис. 4.4. Если известна характерная скорость течения (например, скорость v на оси потока), то легко оценить силы вязкого трения. Согласно (4.3)

$f_{\tau_x}=\mu\frac{d^2 v_x}{dy^2}\sim \mu \frac{v}{h^2}.$

(4.6)

Отсюда следует, что силы вязкого трения убывают с увеличением расстояния между пластинами. В общем случае можно считать, что силы вязкости, возникающие в потоке, обратно пропорциональны квадрату характерного поперечного размера потока и пропорциональны скорости.

Рис. 4.4.

С точки зрения динамики (см. уравнение 4.5) при отсутствии внешних сил F вязкостью можно пренебречь, если силы давления -grad p значительно превосходят силы вязкости $\mu\Delta{\bf v}$ . На первый взгляд, при течении жидкости между параллельными пластинами (равно как и по трубе постоянного сечения), где градиенты давлений отсутствуют вовсе, вязкостью в принципе нельзя пренебречь. И все наши выводы о течении идеальной жидкости становятся неверными.
Однако надо принять во внимание, что из-за флуктуаций линии тока "норовят" искривиться, и частицы в них движутся с ускорением. Поэтому давления p₁ и p₂ по разные стороны изогнутой трубки тока будут различными: p₂>p₁ (рис. 4.5). Возникающие градиенты давления обеспечивают криволинейное течение жидкости:

$\rho\frac{d\vec v}{dt}\cong - {\rm grad} \; p$

(4.7)

Последнее уравнение является приближенным уравнением Навье-Стокса ( $\mu$ =0) и записано в отсутствии внешних сил. Тогда критерий малости сил вязкости сводится к неравенству

$\frac{|\mu\Delta v|}{|{\rm grad}\; p|}\approx \frac{|\mu\Delta v|}{|\rho\frac{dv}{dt}|}<1$

(4.8)

В гидродинамике очень часто используют понятие силы инерции F_и=- $\rho$ dv/dt. С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с частицей жидкости, она находится в покое, потому что силы давления, вязкости и инерции уравновешивают друг друга (см. 4.5):

${\bf F}_и - {\rm grad}\; p +\mu\Delta {\bf v} = 0$

(4.9)

Неравенство (4.8) означает, что силы вязкости значительно меньше сил инерции. В частном случае течения жидкости между пластинами силы инерции при искривлении трубок тока жидкости

$F_и = -\rho \frac{dv}{dt}\sim -\rho \frac{v^2}{h},$

(4.10)

где v²/h - характерное центростремительное ускорение. В общем случае, силы инерции обратно пропорциональны поперечному размеру потока и пропорциональны квадрату скорости. С учетом оценок (4.6) и (4.10) условие (4.8) перепишется следующим образом:

$\frac{\mu\frac{v}{h^2}}{\rho\frac{v^2}{h}}=\frac{\mu}{\rho v h}=\frac{1}{{\rm Re}}<1$

(4.11)

Здесь ${\rm Re}=\frac{\rho vh}{\mu}$ - число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции и сил вязкости. Таким образом, текущую жидкость можно рассматривать как невязкую, если число Рейнольдса для такого течения Re>1. Однако и в этом случае вязкость играет вспомогательную роль. При не очень высоких скоростях течения силы вязкости "гасят" компоненты скорости жидкости, поперечные к потоку, препятствуя, тем самым, возникновению неустойчивого течения (см. ниже).

Рис. 4.5.

Дадим некоторые оценки течения жидкости по круглой трубе радиуса R. Число Рейнольдса в этом случае ${\rm Re}=\frac{\rho vR}{\mu}$ . Если принять радиус трубы R = 1 см и скорость течения v = 1 см/с, то для воды ( $\rho$ =10³ кг/м³, при t=15 $^\circ C$ ) число Re=86. Это означает, что силы вязкости не существенны, и воду можно рассматривать как невязкую жидкость. Однако это приближение становится несправедливым, если радиус трубки уменьшить на два порядка, и Re=0,86<1. При таком течении распределение давлений и скоростей в потоке уже не подчиняется уравнению Бернулли. Еще в большей степени это относится к вязкому глицерину ( $\mu$ =1,4 кг/(м*с)). При течении воздуха по трубе ( $\rho$ =1,3 кг/м³, $\mu$ =1,8*10^-5 кг/(м*с)) число Рейнольдса приблизительно на порядок меньше, чем при аналогичном течении воды. Это указывает на то, что силы вязкости при течении воздуха и других газов играют большую роль, чем при аналогичном течении воды.

Назад | Вперед

Физический факультет МГУ

Посмотреть комментарии[3]