Научная Сеть >> Алгебра токов

Наука >> Физика >> Общие вопросы >> Справочники >> Физическая энциклопедия | Словарные статьи

См. также

Алгебра токов
14.08.2001 15:30 | Phys.Web.Ru

Алгебра токов - система перестановочных соотношений между компонентами различных локальных токов в один и тот же момент времени. В частности, для временных компонент SU(З)-октетов токов эта алгебра замкнута (т. е. коммутатор токов выражается через сами токи):
$\begin{array}{ll}\lbrack j_{0\pm}^k(x), j_{0\pm}^l(x^\prime)\rbrack_{x_0=x_0^\prime}=i\delta(x-x^\prime)f^{klm} j_0^m(x),\\ \lbrack j_{0\pm}^k, j_{0\pm}^l(x^\prime)\rbrack_{x_0=x_0^\prime}=0,\end{array}$ (1)

где $\delta(x-x^\prime)$ - дельта-функция Дирака, $f^{klm}$ - т. н. структурные константы группы SU(3), $\lambda^k \lambda^l - \lambda^l\lambda^k=2if^{klm}\lambda^m, \lambda^k$ - матрицы Гелл-Мана, действующие в пространстве u-, d-, s-кварков, k, l, m - 1, 2, ..., 8, а значки $\pm$ означают "плюс" и "минус" компоненты векторных ( $V_\mu$ ) и аксиальных ( $A_\mu$ ) токов: $V_\mu\pm A_\mu, \mu=0,1,2,3$ (используется система единиц $\hbar=c=1$ ). В пределе нулевой массы пи-мезона токи $j_{0\pm}^k(х)$ являются плотностями сохраняющихся зарядов и алгебра токов описывает киральную симметрию.

Аналогичные соотношения для пространственных компонент токов содержат в правой части производные от дельта-функции - т. н. швингеровские члены.

Перестановочные соотношения (1) имеют такой же вид, как и для токов, составленных из полей свободных кварков. В квантовой хромодинамике (КХД) это объясняется свойством асимптотической свободы, на малых расстояниях эффективная константа связи (эффективный заряд) мала и сильным взаимодействием можно пренебречь.

Алгебра токов сформулирована как эвристическое утверждение М. Гелл-Маном (М. Gell-Mann) в начале 1960-х гг. до появления современных кварковых теорий (КХД, теории электрослабых взаимодействий). Она дала возможность получить ряд соотношений, допускающих непосредственное сравнение с опытом. Эти соотношения носят характер правил сумм (т. е. предсказаний для интегралов от наблюдаемых сечений) или низкоэнергетических теорем, т. е. предсказаний для амплитуд процессов в пределе нулевых 4-импульсов одной или нескольких частиц. Используя дисперсионные соотношения (см. Дисперсионных соотношений метод), значение амплитуды при нулевых 4-импульсах иногда (например, для $\pi N$ -рассеяния) удается переписать в виде интеграла от сечений, так что одно и то же предсказание может фигурировать и как правило сумм, и как низкоэнергетическая теорема.

Одно из наиболее известных следствий алгебры токов - соотношение Адлера-Вайсбергера [сформулированное С. Адлером (С. Adler) и У. Вайсбергером (W. I. Weisberger) в 1965] для т. н. аксиальной константы бета-распада нуклона g_A, определяющей матричный элемент аксиального тока для перехода $n\longleftrightarrow p$ (экспериментальное значение g_A $\approx$ 1,2}:
${\displaystyle 1\over\displaystyle g_A^2}=1+{\displaystyle 2m_N^2\over\displaystyle \pi g_{\pi N}^2}\int\limits_{m_\pi}^\infty{\displaystyle qd\nu\over\displaystyle \nu^2}\lbrack\sigma_{\pi-p}(\nu)-\sigma_{\pi+p}(\nu)\rbrack$ . (2)

Здесь m_N - масса нуклона, $g_{\pi N}$ константа связи пи-мезона с нуклоном $(g_{\pi N}^2\approx 14,6), \sigma_{\pi\pm p}$ - полное сечение взаимодействия $\pi^\pm$ -мезонов с протоном, $m_\pi$ - масса пи-мезона, $\nu$ и q - его энергия и величина импульса в лабораторной системе. Правило сумм (2) может быть представлено в виде низкоэнергетической теоремы - предсказания для разности длин рассеяния $\pi^+$ - и $\pi^-$ -мезонов на нуклоне. Соотношение (2) хорошо (в пределах 10%) согласуется с опытом. Остающееся расхождение связано не с нарушением перестановочных соотношений (1), а с тем, что при выводе (2) приходится пренебрегать массой пи-мезона, поскольку точка нулевого 4-нмпульса пи-мезопа является нефизической.

Сочетание алгебры токов с гипотезой частичного сохранения аксиального тока (см. Аксиального тока частичное сохранение), учитывающей конечную массу пи-мезона, оказалось особенно плодотворным для слабых и электромагнитных процессов (поскольку многие распады частиц связаны с испусканием пи-мезонов). В общем виде амплитуда испускания пи-мезона с 4-импульсом $q\to 0$ сводится к матричному элементу одновременного коммутатора гамильтониана взаимодействия $H(0) \equiv H(х_0=0, x=0)$ с аксиальным током:
$\langle B\pi^\alpha | H(0) | A\rangle_{q\to 0}\to if_\pi^{-1}\langle B | \lbrack H(0), \int A_0^\alpha (x)d^3x\rbrack_{x_0=0}| A\rangle$ , (3)

где $\pi^\alpha$ - пионное состояние, $\alpha=1,2,3$ - изотопический индекс, А, В - адронные состояния. $f_\pi$ - константа $\pi\to\mu\nu_\mu$ -распада [см. Вакуумный конденсат, формула (4)] ( $f_\pi\approx 93 МэВ$ ). Гамильтониан слабого и электромагнитного взаимодействия H(0) строится из токов $V_\mu$ и $A_\mu$ , так что алгебра токов позволяет найти одновременной коммутатор в правой части соотношения (3). В результате возникают соотношения между амплитудами процессов с разным числом пи-мезонов, например:
$\begin{array}{ll} A(K_S^0\to\pi^+\pi^-)=\sqrt{2} f_\pi A(K_L^0\to\pi^+\pi^-\pi^0), \\ q(\pi^0)=0,\end{array}$ (4)

где $A(K_S^0\to 2\pi)$ ), $A(K_L^0\to 3\pi)$ - амплитуды соответствующих слабых нелептонных распадов нейтральных короткоживущнх ( $K_S^0$ ) и долгоживущих ( $K_L^0$ ) К-мезонов; значение амплитуды при $q(\pi^0)=0$ получают экстраполяцией экспериментальных данных из физической области. Сравнение этого и других подобных соотношений с опытом позволило проверить правильность как самой алгебры токов (1), так и различных предположений о структуре слабого взаимодействия.

Алгебра токов и после создания современных кварковых теорий остается наиболее надежным способом описать взаимодействия адронов при низких энергиях, исходя непосредственно из вида лагранжиана КХД (в тех случаях, когда применение алгебры токов возможно).

Написать комментарий