Научная Сеть >> Основы квантовой механики

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Утро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

О лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Векторное пространство

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

Первый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Горячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Новая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Соотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

Мировая линия Гамова

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Законы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.

Содержание

Эксперимент показывает (см. ниже), что электрон, наряду с орбитальным моментом, имеет собственный момент импульса - спин (от англ. spin), не связанный с его движением в пространстве. Проекция этого момента на заданное направление может принимать только два значения $\pm \hbar/2$ . В общей теории момента (см. п. 7) этому отвечает квантовое число j=1/2.
Таким образом, электрон обладает 4 степенями свободы, и его волновая функция $\psi=\psi({\bf r},\zeta)$ , где дискретная переменная, отвечающая проекции спина на ось z (выбор ее, конечно, условен), $\zeta=\pm 1/2$ . Иначе говоря, состояние частицы описывается упорядоченной парой функций:

$\psi=\left(\begin{array}{l} \psi_1({\bf r})\\ \psi_2({\bf r}) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} \psi_({\bf r},\zeta=+1/2)\\ \psi_({\bf r},\zeta=-1/2) \end{array}\right).$

Формально это означает, что от пространства квадратично интегрируемых волновых функций H=L²(R³) мы переходим к прямому произведению

${\bf H}_S=L^2({\bf R}^3)\otimes C^2,$

где C² - двумерное комплексное пространство.
Наблюдаемой $\hat A$ в H отвечает в H_S наблюдаемая $\hat A\otimes\hat I$ , а $\hat S$ в C² соответствует $\hat I\otimes\hat S$ в H_S. В пространстве существуют, конечно, и наблюдаемые более общего вида, например, суммы и произведения указанных. В дальнейшем единичные операторы $\hat I$ , как правило, мы будем опускать.
Скалярное произведение в H_S определяется в виде

$(\psi,\varphi)=\int d^3x(\psi_1^*\varphi_1+\psi_2^*\varphi_2).$

Введем векторный оператор спина

$\hat{\bf S}=\frac{\hbar}{2}{\bf \sigma}, \; {\bf \sigma}=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3).$

Его компоненты

$\hat S_k=\frac{\hbar}{2}\sigma_k$

имеют только два собственных значения $\pm \hbar/2$ и удовлетворяют коммутационным соотношениям для операторов момента:

$[\hat S_k,\hat S_n]=i\hbar\varepsilon_{knl}\hat S_n.$

Отсюда следует, что безразмерные эрмитовы 2x2-матрицы $\sigma_k$ должны удовлетворять условиям

$\sigma_k^2=I,\; [\sigma_k, \sigma_n]\equiv \sigma_k\sigma_n-\sigma_n\sigma_k=2i\varepsilon_{knl}\sigma_l,$

где I - единичная матрица. Еще одно условие мы получим из требования, чтобы проекция спина на любое направление, задаваемое единичным вектором ,

$\hbar S_{\bf n}=\frac{\hbar}{2}{\bf n\cdot \sigma},$

также имела только два СЗ $\pm \hbar/2$ . Это значит, что

$({\bf n\cdot\sigma})^2=I=n_k\sigma_k n_l\sigma_l\equiv \frac{1}{2}n_k n_l(\sigma_k\sigma_l+\sigma_l\sigma_k).$

В силу произвольности направления n матрицы $\sigma_k$ должны удовлетворять соотношению

$\{\sigma_k,\sigma_k\}\equiv \sigma_k\sigma_n+\sigma_n\sigma_k=2\delta_{kn}.$

Указанные три условия эквиваленты одному:

$\sigma_k\sigma_n=\delta_{kn}I+i\varepsilon_{kns}\sigma_s,$

т.е. $\sigma_k^2=I,\; \sigma_1\sigma_2=-\sigma_2\sigma_1=i\sigma_3$ и цикл. пер.
Квадрат спина

$\hat{\bf s}^2=\sum\limits_{k}^{}\hat S_k^2=\hbar^2s(s+1)I,\; s=1/2.$

Это и означает, что спин электрона равен $\hbar/2$ . Заметим, кстати, что операторы $\hat S_\pm=\hat S_x\pm i\hat S_y$ удовлетворяют условию

$\hat S^2=0,$

которое следует из антикоммутативности матриц $\sigma_k$ .
Стандартный выбор матриц $\sigma_k$ таков:

$\sigma_1=\begin{array}{ll} 0&1\\1&0\end{array},\; \sigma_2=\begin{array}{ll} 0&-i\\i&0\end{array},\; \sigma_3=\begin{array}{ll} 1&0\\0&-1\end{array}.$

Они называются матрицами Паули (W. Pauli).
Явные выражения для операторов $\hat S_k=\hbar\sigma_k/2$ можно получить из общих формул для матричных элементов операторов момента (см. п. 7):

$(J_\pm)_{m'm}\equiv (\psi_{jm}, \hat J_\pm \psi_{jm})=[j(j+1)-m(m+1)]^{1/2}\delta_{m',m\pm 1},\; (J_3)_{m'm}=m\delta_{m'm}.$

Положив здесь $\hat J_k=\hat S_k/\hbar, \; j=1/2,\; m=\zeta=\pm 1/2$ , получим уже известные 2x2-матрицы (нумеруя соответствующим образом строки и столбцы).
Произвольная наблюдаемая в C² может быть представлена в виде разложения по 4 линейно независимым базисным эрмитовым матрицам $I, {\bf \sigma}$ .
Общие собственные векторы операторов

$\hat {\bf S}^2=\frac{3}{4}\hbar^2 I$ и $\hat S_z=\frac{\hbar}{2}\sigma_3.$

- диагональных матриц - имеют вид

$\psi_{\zeta=1/2}=\begin{array}{l} \psi_1\\ 0\end{array},\; \psi_{\zeta=-1/2}=\begin{array}{l} 0\\ \psi_2\end{array},$

где $\psi_{1/2}$ - произвольные функции из L²(R³). Из разложения произвольного вектора состояния в H_S,

$\psi\equiv\begin{array}{l} \psi_1\\ \psi_2\end{array}=\psi_{\zeta=1/2}=\begin{array}{l} \psi_1\\ 0\end{array}+\begin{array}{l} 0\\ \psi_2\end{array},$

следует, что вероятность обнаружить при измерении в состоянии $\psi$ проекцию спина $S_z=\pm \hbar/2$

$w(\zeta=\pm 1/2)=|(\psi_{\zeta=\pm 1/2},\psi)|^2=\int d^3 x|\psi_{1,2}|^2.$

В пространстве C² волновая функция преобразуется по закону

$\psi'=U\psi,$ или $\psi'_k=U_{kn}\psi_n.$

Сохранение скалярного произведения,

$\psi'^+\varphi'=\psi^+ U^+ U\varphi,$

, приводит к унитарности матриц преобразования:

U⁺U=I.

Следовательно,

det U⁺det U=|det U|²=1.

Поэтому произвольную унитарную матрицу можно представить в виде

$U=e^{i\alpha}V,$

где V - унитарная матрица с detV=1, $\alpha$ - произвольное действительное число.
Учитывая, что нормированный вектор состояния определен с точностью до фазового преобразования $\psi\to \psi'=e^{i\alpha}\psi$ , мы всегда можем ограничиться преобразованиями U с единичным определителем (унимодулярными преобразованиями):

detU=1.

Унитарные унимодулярные преобразования в двумерном пространстве C² образуют, как известно, группу SU(2). Эта группа связана с группой вращений трехмерного евклидова пространства SO(3) следующим образом. Рассмотрим множество эрмитовых бесследовых матриц вида:

$X={\bf \sigma\cdot r},\; X^+=X,\; {\rm tr}\,X=0,$

где r - действительный трехмерный вектор. Представление группы SU(2) на множестве этих матриц задано так:

$X^+=UXU^+,$ или ${\bf \sigma\cdot r}=U{\bf \sigma\cdot r}U^+.$

Из перестановочных соотношений для матриц Паули $\sigma_k$ следует, что

$\frac{1}{2}{\rm tr}(\sigma_k\sigma_n)=\delta_{kn}.$

Отсюда и из закона преобразования матриц X находим

$\frac{1}{2}{\rm tr}(\sigma_k\sigma_n x'_n)=x'_k=\frac{1}{2}{\rm tr}(\sigma_k U\sigma_l x_l U^+)\equiv R_{kl}x_l.$

Мы получили преобразование в евклидовом пространстве:

r'=Rr,

где 3x3-матрица R имеет матричные элементы

$R_{kl}=\frac{1}{2}{\rm tr}(\sigma_k U\sigma_nU^+).$

Используя свойства матриц $\sigma_k$ и U, нетрудно показать, что R - действительная ортогональная унимодулярная матрица:

R^*=R, R^TR=I, det R=1,

т.е. отвечает вращению евклидова пространства: $R\in SO(3),\; {\bf|r'|=|r|}$ . Матрица $U\in SU(2)$ может быть при этом параметризована в виде:

$U={\rm exp}\left(-\frac{i}{2}\theta{\bf n\cdot\sigma}\right)=I\cos\frac{\theta}{2}-i({\bf n\cdot\sigma})\sin\frac{\theta}{2},$

где $\theta$ - угол поворота вокруг оси, заданной единичным вектором n. Здесь учтены легко проверяемые соотношения:

$({\bf n\cdot\sigma})^{2k}=I,\; ({\bf n\cdot\sigma})^{2k+1}={\bf n\cdot\sigma}.$

Мы видим, что матрицы U осуществляют двузначное представление группы вращений SO(3):

$\pm U\to R.$

Волновая функция электрона в пространстве H_S преобразуется при вращении по закону:

$\psi'({\bf r})=U\psi(R^{-1}{\bf r})={\rm exp}\left(-\frac{i}{\hbar}\theta{\bf n\cdot\hat J}\right)\psi({\bf r}),$

где введен оператор полного момента импульса

${\bf\hat J=\hat L+\hat S}=-i\hbar {\bf r}\times\nabla\otimes\hat I+\hat I\otimes\frac{\hbar}{2}{\bf\sigma}$

Уравнение Шредингера для частицы во внешнем электромагнитном поле. Магнитный момент

Рассмотрим движение электрона во внешнем электромагнитном поле, заданном 4-потенциалом $A^\mu=(\Phi,A)$ . По принципу соответствия определим гамильтониан (нерелятивистского) электрона (массу его будем обозначать m_e, чтобы не путать с квантовым числом m для проекции момента) в виде:

$\hat H=\frac{1}{2m_e}\left(\hat {\bf p} - \frac{e}{c}{\bf A}\right)^2+e\Phi$

. Оператор

$\hat {\bf P}={\bf\hat p}-\frac{e}{c}{\bf A}$

называют кинетическим импульсом (в классической механике он выражается через скорость частицы: P=m_ev) в отличие от канонического импульса ${\bf \hat p}$ .
Пусть задано постоянное однородное магнитное поле ${\bf B=\nabla\times A}$ , калибровку потенциала которого выберем в виде

${\bf A}=\frac{1}{2}{\bf B\times r},\; \nabla\cdot{\bf A}=0.$

Тогда, преобразуя квадрат кинетического импульса

$\hat {\bf P}^2={\bf\hat p}^2-\frac{e}{c}({\bf A\cdot\hat p+\hat p\cdot A})+\frac{e^2}{c^2}{\bf A}^2$

с учетом

${\bf\hat p\cdot A}\psi=({\bf A\cdot\hat p})\psi-i\hbar(\nabla\cdot{\bf A})\psi,\; {\bf A\cdot\hat p}=\frac{1}{2}{\bf B(r\times\hat p}),$

получим гамильтониан электрона в постоянном магнитном поле и произвольном электрическом поле $E=-\nabla\Phi$ :

$\hat H=\frac{{\bf \hat p}^2}{2m_e}+e\Phi-\frac{e}{2m_ec}{\bf B\cdot\hat L}+\frac{e^2}{8m_ec^2}({\bf B\times r})^2.$

Третье слагаемое в гамильтониане описывает взаимодействие орбитального магнитного момента M электрона с магнитным полем:

$\hat U_L=-{\bf \hat M\cdot B},\; {\bf\hat M}=\frac{e}{2m_e c}{\bf\hat L}.$

Коэффициент пропорциональности между магнитным моментом и моментом импульса называется гиромагнитным отношением

g_L=e/2m_ec.

Взаимодействие $\hat U_L$ имеет, очевидно, классический аналог, следующий из классической функции Гамильтона частицы. В общем случае протяженной заряженной системы, характеризуемой плотностью электрического тока j(t,r), энергия ее взаимодействия с постоянным магнитным полем A=Bxr/2 в рамках классической электродинамики имеет вид (см. первую часть курса):

$U_c=-\frac{1}{c}\int d^3 x{\bf j\cdot A}=-{\bf M\cdot B}.$

Здесь магнитный момент системы

${\bf M}=\frac{1}{2c}\int d^3 x{\bf r\times j}.$

Для системы N точечных заряженных частиц имеем плотность тока в виде

${\bf j}(t,{\bf r})=\sum\limits_{a=1}^{N}e_a {\bf v_a}\delta({\bf r-r_a},$

и магнитный момент

${\bf M}=\sum\limits_{a}^{}\frac{e_a}{2m_a c}{\bf r_a\times p_a}.$

В случае, когда все частицы имеют одинаковое отношение заряда к массе, e_a/m_a=e/m_e, получим пропорциональность магнитного и орбитального моментов:

${\bf M}=\frac{e}{2m_e c}{\bf L},\; {\bf L}=\sum\limits_{a}^{}{\bf r_a}\times{\bf p_a}.$

Вычислим магнитный момент ${\bf \mu}$ равномерно заряженного по объему шарика радиуса a, вращающегося с постоянной угловой скоростью ${\bf \omega}=\omega{\bf e_z}$ вокруг диаметра. Имеем для плотности заряда и тока

$\rho=\frac{3e}{4\pi a^3},\; {\bf j}=\rho {\bf v},\; {\bf v=\omega\times r},$

где e - полный заряд шарика. Очевидно, что магнитный момент ${\bf \mu\| \omega}$ . Тогда получаем

${\bf\mu}=\frac{\rho}{2c}\int d^3 x{\bf r\times(\omega\times r)}={\bf \omega}\frac{\rho}{2c}\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{\pi}d\theta \sin\theta\int\limits_{0}^{a}drr^2(x^2+y^2)=\frac{ea^2}{5c}{\bf\omega}.$

При этом магнитный момент пропорционален собственному моменту импульса L_S (в системе, где центр шарика массы m_e покоится):

${\bf \mu}=\frac{e}{2m_e c}{\bf L_S},\; {\bf L_S}=\rho_m\int d^3 x{\bf r\times v},\; \rho_m=\frac{3m_e}{4\pi a^3}.$

Назад | Вперед

MMOnline

Посмотреть комментарии[1]

Основы квантовой механики.

Спин. уравнение паули

Оператор спина

Уравнение Шредингера для частицы во внешнем электромагнитном поле. Магнитный момент