Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161226&uri=page13.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 13:58:12 2016
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: магнитные моменты
Научная Сеть >> Основы квантовой механики
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[1]  Добавить новое сообщение
 См. также

Популярные заметкиКвантовые свойства фуллерена

Популярные статьиПроект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Популярные статьиОткрытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Календарь событийУтро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

Обзорные статьиО лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

КнигиЗонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

Новости75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Популярные статьиНаноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Популярные статьиОткрытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

Календарь событий11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Словарные статьиВекторное пространство

Популярные статьиКвантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

НовостиПервый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Популярные заметкиПервый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Популярные статьиГорячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Популярные статьиНовая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Популярные статьиСоотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

НовостиМировая линия Гамова

Словарные статьиАлгебраический подход в квантовой теории поля

Популярные статьиЗаконы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г. 		Содержание

Атом в магнитном поле

Для электрона в атоме электростатическое взаимодействие значительно сильнее взаимодействия с магнитными полями, достижимыми в лабораторных условиях. Поэтому квадратичным по напряженности поля слагаемым в гамильтониане можно пренебречь:
$\hat H=\hat H_0-{\bf\hat M\cdot B},\; \hat H_0=\frac{{\bf\hat p}^2}{2m_e}+e\Phi, \; {\bf\hat M}=g_L {\bf\hat L}.$

Пусть магнитное поле направлено по оси z: B=Bez. Учтем сферическую симметрию электростатического потенциала, $\Phi=\Phi(|{\bf r}|)$, рассматривая простую модель атома щелочного металла (вспомним школьную химию): один валентный электрон движется в некотором центральном поле, создаваемом кулоновским взаимодействием с ядром и распределенным по объему атома зарядом остальных электронов. Тогда операторы $\hat H, \hat{\bf L}^2, \hat L_z$ образуют полный набор коммутирующих операторов, т.е. имеют общую систему собственных функций $\psi_{nlm}$:
$(\hat H-E_{nlm}) \psi_{nlm}=0,\; [\hat{\bf L}^2-\hbar^2\ell(\ell+1)]\psi_{nlm}=0,\; (\hat L_z-\hbar m)\psi_{nlm}=0.$

Здесь собственные значения энергии имеет вид
$E_{nlm}=E^0_{ln}-m\frac{e\hbar}{2m_e c}B,\; m=-\ell,-\ell+1,\ldots,\ell.$

Они связаны с СЗ Enl0 гамильтониана $\hat H_0$ (в отсутствие магнитного поля, B=0), имеющим, очевидно, те же собственные функции, что и $\hat H$:
$(\hat H_0-E_{nl}^0)\psi_{nlm}=0.$

Мы видим, что возникла естественная единица измерения магнитного момента, называемая магнетоном Бора:
$\mu_B=\frac{|e|\hbar}{2m_e c},$

где заряд электрона e=-|e|<0.
Ввиду сферической симметрии $\hat H_0$ его СЗ Enl0 вырождены с кратностью $2\ell+1$, равной числу возможных значений проекции момента на ось z. Включение магнитного поля нарушает сферическую симметрию системы и приводит к снятию вырождения по квантовому числу m: уровни энергии Enl0 расщепляются на $2\ell+1$ подуровней.
Замечание. Для чисто кулоновского потенциала в атоме водорода $(\Phi=-e/r)$ имеется (случайное) вырождение уровней энергии по $\ell$, которое объясняется дополнительной, кроме сферической, симметрией этого потенциала (см. ниже п. 10).
Итак, теория Шредингера предсказывает, что в магнитном поле уровни энергии атома должны расщепляться на нечетное число подуровней, образующих мультиплет. Эксперимент частично подтверждает это предсказание (эффект Зеемана: P. Zeeman, 1896). Расщепление имеет более сложную структуру: оно зависит от типа атома и различно для разных мультиплетов одного и того же атома. В частности, наблюдаются как нечетные, так и четные мультиплеты, как если бы $\ell$ было полуцелым.
Более того, обнаруживается тонкая структура уровней даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Рассмотрим, например, уровень валентного электрона в щелочном атоме натрия, отвечающий $n=2,\; \ell=1$ (так называемый 2p-терм). По теории Шредингера имеем вырождение уровня энергии кратности 3. Эксперимент же показывает, что этот уровень расщеплен на два близких подуровня ( при B=0!).
Особенно наглядно противоречие теории и эксперимента проявилось в опытах Штерна и Герлаха (O. Stern, W. Gerlach, 1922). Они пропускали узкий пучок атомов водорода, находящихся в основном состоянии $(n=1,\; \ell=0)$, через область неоднородного магнитного поля и обнаружили, что пучок расщепляется на два пучка. Результаты опытов можно объяснить, предполагая, что атом водорода в основном состоянии обладает некоторым магнитным моментом. Тогда гамильтониан нейтрального атома, рассматриваемого как единая частица с нулевым электрическим зарядом и взаимодействующего с магнитным полем, записывается в виде (ср. выше):
$\hat H=\frac{{\bf\hat p}^2}{2m_H}-{\bf M\cdot B},$

где B=B(r) - макроскопически неоднородное магнитное поле. На основе этого гамильтониана можно показать, что если z-компонента поля Bz значительно больше компонент Bx и By, то на атом, влетающий в область поля перпендикулярно оси z, начинает действовать средняя сила
${\bf F}=M_z\frac{\partial B_z}{\partial z}{\bf e_z}.$

Эксперимент показал, что проекция магнитного момента атома в основном состоянии на заданное направление может принимать только два значения:
$M_z=\pm \mu_B,$

где $\mu_B$ - введенный выше магнетон Бора. Учтем, что в основном состоянии орбитальный момент электрона равен нулю, а масса ядра атома водорода (протона) значительно больше массы электрона. Тогда естественно предположить, что электрон обладает собственным магнитным моментом ${\bf \mu}$, величина которого равна $\mu_B$ (по определению это максимальное значение проекции $\mu_z$). При этом магнитный момент электрона пропорционален его собственному моменту импульса (спину) S:
${\bf\mu}=g_S {\bf S},$

где коэффициент пропорциональности gS - спиновое гиромагнитное отношение. Результаты эксперимента можно интерпретировать так:
$M_z=\mu_z=\pm \mu_B=g_S S_z,\; S_z=\mp\frac{\hbar}{2},\; g_S=\frac{e}{m_e c}=2g_L,$

где учтено, что gS<0 (e<0).
Заметим, что гипотезу о существовании спина электрона выдвинули Уленбек и Гаудсмит (G. Uhlenbeck, S. Goudsmit, 1925), предложившие модель электрона в виде заряженного шарика, вращающегося вокруг своей оси. Хотя это полуклассическая модель объясняет пропорциональность магнитного и механического моментов (см. выше выражение для магнитного момента вращающегося шарика), но дает неправильное значение спинового гиромагнитного отношения, равное орбитальному, а из эксперимента следует в два раза большее значение. Кроме того, эта модель противоречит теории относительности. Действительно, приравняем магнитный момент шарика магнетону Бора и найдем скорость точки на экваторе:
$\frac{ea^2}{5c}\omega=\frac{e\hbar}{2m_e c},\; v=\omega a=\frac{5}{2}c\frac{\lambda_e}{a},$

где $\lambda_e=\hbar/m_e c=3,\!86\cdot 10^{-11} cм$ - комптоновская длина волны электрона (см. п. 1). Следовательно, при $a \lt \lambda_e$ имеем v>2,5c, т.е. больше скорости света в вакууме (!).
Подчеркнем, что в квантовой механике электрон рассматривается как точечная (бесструктурная) частица. Это подтверждается экспериментом и показывает, в частности, что спин не имеет классического аналога.

Уравнение Паули


Спин в аппарат квантовой механики был введен Паули. Он предложил (постулировал) для описания электрона уравнение, которое теперь называется уравнением Паули (W. Pauli, 1927):
$i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H_p\psi,\; \hat H_p=\frac{1}{2m_e}\left({\bf\hat p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2+e\Phi-{\bf\hat\mu\cdot B}.$

Паулиевский гамильтониан $\hat H_p$ отличается от шредингеровского добавлением слагаемого $\hat U_p=-{\bf\hat\mu\cdot B}$, описывающего взаимодействие с магнитным полем ${\bf B=\nabla\times A}$ спинового магнитного момента электрона, представляемого оператором
${\bf\hat\mu}=g_S {\bf\hat S}=-\mu_B{\bf\sigma}.$

Этот оператор введен по аналогии с оператором орбитального магнитного момента ${\bf\hat M}=g_L{\bf\hat L}$.
Как уже обсуждалось выше, волновая функция электрона $\psi$ в теории Паули является двухкомпонентной:
$\psi=\left(\begin{array}{l} \psi_1\\ \psi_2\end{array}\right).$

Она называется спинором и преобразуется при поворотах системы координат по двузначному представлению группы вращений (см. выше). В частности, при повороте на $2\pi $ получим преобразование
$\psi\to\psi'=-\psi=e^{i\pi}\psi.$

Следовательно, для спинора этот поворот не эквивалентен тождественному преобразованию, как это имеет место для скаляра и вектора.
Рассмотрим "вывод" уравнения Паули, принадлежащий Фейнману (R.P. Feynman). Из основного соотношения для матриц Паули (см. выше),
$\sigma_k\sigma_n=\delta_{kn}+i\varepsilon_{kns}\sigma_s,$

следует тождество
${(\bf\sigma\cdot a)(\sigma\cdot b)=a\cdot b}+i{\bf\sigma\cdot(a\times b)},$

где a,b - произвольные векторы. Учитывая его, запишем гамильтониан электрона в электрическом поле в эквивалентном шредингеровскому виде
$\hat H=\frac{({\bf\sigma\cdot\hat p})^2}{2m_e}+e\Phi.$

Введем теперь взаимодействие с магнитным полем по известному правилу (это, конечно, постулат):
${\bf\hat p\to\hat P=\hat p}-\frac{e}{c}{\bf A}.$

Тогда получим гамильтониан
$\hat H_F=\frac{({\bf\sigma\cdot\hat P})^2}{2m_e}+e\Phi$

который эквивалентен гамильтониану Паули:
$\hat H_F\equiv \hat H_P$

Действительно, имеем
$({\bf\sigma\cdot\hat P})^2={\bf\hat P}^2+i{\bf\sigma\cdot(\hat P\times\hat P)},$

где второе слагаемое отлично от нуля ввиду некоммутативности компонент оператора кинетического импульса ${\bf\hat P}$:
$[\hat P_n,\hat P_k]=[\hat p_n-\frac{e}{c}A_n,\hat p_k-\frac{e}{c}A_k]=i\hbar\frac{e}{c}(\partial_n A_k-\partial_k A_n).$

Следовательно,
$({\bf\hat P\times\hat P})_s=\varepsilon_{snk}\hat P_n\hat P_k=\frac{1}{2}\varepsilon_{snk}[\hat P_n,\hat P_k]=i\hbar\frac{e}{c}\varepsilon_{snk}\partial_n A_k,$

или
${\bf\hat P\times\hat P}=i\hbar\frac{e}{c}{\bf B},\; {\bf B=\nabla\times A}.$

В результате получаем:
$\frac{({\bf\sigma\cdot\hat P})^2}{2m_e}=\frac{{\bf\hat P}^2}{2m_e}-\frac{e\hbar}{2m_e c}{\bf\sigma\cdot B},$

т.е. приходим к паулиевскому взаимодействию спинового магнитного момента электрона с магнитным полем.

Назад | Вперед
Посмотреть комментарии[1]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования