Научная Сеть >> Основы квантовой механики

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Утро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

О лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Векторное пространство

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

Первый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Горячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Новая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Соотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

Мировая линия Гамова

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Законы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.

Содержание

Учет движения ядра

Учтем теперь конечность массы ядра атома. Тогда получаем гамильтониан системы двух частиц - электрона и ядра:

$\hat H=\frac{\hat p_1^2}{2m_e}+\frac{\hat p_2^2}{2M}+U(|r_1-r_2|)$

. Введем новые координаты - относительные и центра масс:

$r=r_1-r_2, R=\frac{m_e r_1 + Mr_2}{m_e + M}$

. Соответствующие операторы импульсов имеют вид:

$\hat p=-i\hbar\nabla_r, \hat P=-i\nabla_R$

. С учетом соотношения

$\frac{\partial}{\partial x_k}=\frac{\partial r}{\partial x_k}\cdot\nabla_r + \frac{\partial R}{\partial x_k}\cdot\nabla_R$

получим гамильтониан в новых переменных:

$\hat H=\frac{\hat p^2}{2\mu}+\frac{\hat P^2}{2M_0}+U(r)$

. Здесь

$\mu=\frac{m_e M}{m_e+M}\cong m_e\left(1-\frac{m_e}{M}\right)$

- приведенная масса,

$M_0=m_e+M$

- полная масса атома.
В силу $[\hat H,\hat P]=0$ собственная функция гамильтониана $\Psi$ представляется в виде функции, отвечающей движению центра масс с заданным импульсом P, и волновой функции относительного движения $\psi$ :

$\Psi (r,R)={\rm exp}\left(\frac{i}{\hbar}P\cdot R\right)\psi (r)$

. В системе центра масс (P=0) для $\psi$ получаем уравнение

$\left[\frac{\hat p^2}{2\mu}+U(r)\right]\psi (r)=E\psi (r)$

. В результате мы пришли к уже исследованной задаче: движение частицы массы $\mu$ в центральном поле U(r) (в нашем случае - неподвижного кулоновского центра $U(r)=-\alpha/r$ ). Таким образом, как и в классической механике, задача двух тел сводится к задаче одного тела.
Спектр энергии определяется известной формулой с заменой там массы электрона m_e на приведенную массу $\mu$ , т.е. следующей заменой постоянной Ридберга, отвечающей бесконечной массе ядра:

$R\equiv R_\infty=\frac{m_e e^4}{2\hbar^3}\to R_M=\frac{\mu e^4}{2\hbar^3}\cong R_\infty\left(1-\frac{m_e}{M}\right).$

Уточненный спектр излучения водородоподобного атома принимает вид:

$\omega_{n'n}=Z^2 R_\infty\left(1-\frac{m_e}{M}\right)\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right).$

Учет движения ядра позволил объяснить некоторые эффекты. Рассмотрим серии Бальмера (n'=2) обычного водорода H=¹₁H=(p) и его изотопов дейтерия D=²₁H=(pn) и трития T=³₁H=(pnn), где в скобках указан протон-нейтронный состав ядер:

$\omega^{(i)}_{2n}=R_\infty(1-\delta_i)\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right),\; H,D,T;\; \delta_H=\frac{1}{1840},\; \delta_D=\frac{1}{3680},\; \delta_T=\frac{1}{5520}.$

Мы видим, что поправки к спектру на конечность массы ядра $\delta_i$ различны для разных изотопов. Следовательно, изотопы могут быть обнаружены спектроскопическими методами, так как их соответствующие спектральные линии немного сдвинуты относительно друг друга. Это и было сделано фактически. Оказалось, что в естественной смеси изотопов, природной воде, относительная концентрация изотопов водорода такова: $D/H\approx 1/6800,\; T/H\approx 10^{-18}.$
Другое важное приложение теории - объяснение обнаруженной в спектре излучения Солнца спектральной серии Пикеринга. Она приближенно описывается формулой, похожей на формулу Бальмера для атома водорода:

$\omega^{(H)}_{2n_1}=R_H\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n_1^2}\right),$

но содержит "лишние" линии, так как квантовое число n₁ принимает не только целые, но и полуцелые значения:

n₁=5/2,3,7/2,4,9/2,...,

которые запрещены для водорода. Правильная интерпретация этой серии была дана, когда более точные спектроскопические измерения показали, что линии несколько сдвинуты по сравнению с водородными линиями так, что в указанной формуле следует сделать замену

$R_H=R_\infty\left(1-\frac{1}{1840}\right)\to R_{He}=R_\infty\left(1-\frac{1}{7360}\right).$

Полагая там же n₁=n/2, получим формулу, не содержащую полуцелых квантовых чисел:

$\omega^{(He)}_{4n}=2^2 R_{He}\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{n^2}\right),\; n=5,6,7,\ldots.$

Она описывает спектральную серию однократно ионизованного атома гелия ⁴₂He⁺=(ppnn), т.е. водородоподобного иона с Z=2.

Тождественные частицы. принцип паули

Системы многих частиц

Пространство состояний одной бесспиновой частицы H=L²(R³), частицы со спином 1/2 (в единицах $\hbar$ ) - H=L²(R³) $\otimes$ C². Для системы частиц имеем соответственно

${\bf H}=L^2({\bf R}^{3N})=L^2({\bf R}^3)\otimes\cdots\otimes L^2({\bf R}^3)$

${\bf H}=L^2({\bf R}^{3N})\otimes C^{2N}=(L^2({\bf R}^3)\otimes C^2)\otimes\cdots\otimes (L^2({\bf R}^3)\otimes C^2).$

Эксперимент показывает, что эта структура пространства состояний справедлива только для систем различных частиц. Волновая функция системы

$\psi=\psi(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_N),$

где

$\xi_n=({\bf r_n},\zeta_n)$

- набор пространственных координат r_n и дискретной спиновой переменной $\zeta_n$ n-ой частицы. Скалярное произведение в этом пространстве

$(\psi,\varphi)=\int d\xi_1\cdots d\xi_N\psi^*(\xi)\varphi(\xi),\; \int d\xi_n\equiv\int d^3 x_n\sum\limits_{\xi_n}^{}.$

В квантовой механике одинаковые частицы принципиально неразличимы. Постулаты теории, сформулированные в п. 4, дополняются новым - принципом тождественности (неразличимости одинаковых частиц).
Принцип тождественности: пространством состояний системы N одинаковых (тождественных) частиц является пространство H_S симметричных функций или пространство H_A антисимметричных функций.
Определим соответствующие функции $\psi_S$ и $\psi_A$ . Для этого рассмотрим группу перестановок N элементов P_N. Ее элементы - перестановки

$P=\left( \begin{array}{ccc} 1, & 2,\ldots, & N\\ k_1, & k_2,\ldots, & k_N \end{array} \right), \; k_i=\overline{1,N};\; k_i\ne k_j,$

причем единичный элемент - тождественная перестановка

$I=\left( \begin{array}{ccc} 1, & 2,\ldots, & N\\ 1, & 2,\ldots, & N \end{array} \right),$

а произведение перестановок P₂P₁ - результат двух последовательных перестановок P₁ и P₂. В пространстве волновых функций H перестановке P отвечает оператор $\hat P$ , действующий так:

$\hat P\psi(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_N)=\psi(\xi_{k_1},\xi_{k_2},\ldots,\xi_{k_N}).$

Очевидно, что $\hat P$ - унитарный оператор и отображение $P\to \hat P$ есть представление группы P_N в пространстве H. В H выделяются два инвариантных относительно операторов $\hat P$ подпространства симметричных и антисимметричных функций:

${\bf H_S}=(\psi_S),\; {\bf H_A}=(\psi_A).$

Эти функции - собственные функции операторов перестановки:

$\hat P\psi_S(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_N)=\psi_S(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_N),\; \hat P\psi_A(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_N)=\delta_P\psi_A(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_N)$

Здесь введена четность перестановки $\delta_P=(-1)^{n_P}=+1(-1)$ для четного (нечетного) числа n_P последовательных перестановок двух частиц, к которым сводится данная перестановка P.
Очевидно, что ${\bf H_A\perp H_S}$ . В случае N=2 имеем

${\bf H=H_A\oplus H_S}.$

Действительно,

$\psi(\xi_1,\xi_2)=\frac{1}{2}[\psi(\xi_1,\xi_2)+\psi(\xi_2,\xi_1)]+\frac{1}{2}[\psi(\xi_1,\xi_2)-\psi(\xi_2,\xi_1)]=\psi_S+\psi_A.$

При $N\ge 3$ имеются и другие, более сложные, чем H_A и H_S, инвариантные подпространства, но они не имеют физических приложений.
Частицы, описываемые функциями $\psi_S(\psi_A)$ , называются бозонами (фермионами) и подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна (Ферми - Дирака).
В квантовой механике постулируется следующая связь спина и статистики: частицы с целым спином (s=0,1,2,...) являются бозонами, частицы с полуцелым спином (s=1/2,3/2,5/2,...) - фермионами.
Замечание. В квантовой теории поля указанная связь спина и статистики представляет собой теорему, доказанную В. Паули (W. Pauli, 1940) на основе принципа причинности и лоренц-инвариантности.
Статистика составных тождественных частиц (например, атомных ядер) определяется четностью числа входящих в их состав фермионов. Например, дейтрон ( ядро атома дейтерия D=²₁H=(pn)), состоящее из двух частиц со спином 1/2, протона и нейтрона, является бозоном.
Гамильтониан системы N тождественных попарно взаимодействующих частиц массы m во внешнем поле V(r) имеет вид:

$\hat H=-\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_n+\sum\limits_{n=1}^{N}V({\bf r_n}) +\sum\limits_{n \lt n'} U({\bf r_n - r_n'})$

где U - потенциал парного взаимодействия. В силу одинаковости масс частиц и независимости потенциалов V и U от номеров частиц оператор перестановки $\hat P$ - интеграл движения:

$[\hat H, \hat P ]=0.$

Следовательно, в процессе эволюции системы согласно уравнению Шредингера

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi$

тип симметрии волновой функции не изменяется. Иначе говоря, связь спина и статистики не разрушается динамикой, как и должно быть в непротиворечивой теории.
Рассмотрим важный частный случай системы невзаимодействующих частиц (U=0) во внешнем поле. Гамильтониан такой системы представляется в виде суммы гамильтонианов отдельных частиц:

$\hat H=\sum\limits_{n=1}^{N}\hat H_n,\; \hat H_n=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_n^2+V({\bf r_n}).$

Решение стационарного уравнения Шредингера, $(\hat H-E)\psi=0$ , можно искать в виде произведения одночастичных волновых функций:

$\psi_П (\xi_1,\ldots,\xi_N)=\prod\limits_{n=1}^{N}\psi_n(\xi_n),\; (\hat H_n-\varepsilon_n)\psi_n=0,\; E=\sum\limits_{n=1}^{N}\varepsilon_n.$

Функция $\psi_П$ не удовлетворяет принципу тождественности, хотя и является решением УШ. Поскольку оператор перестановки - интеграл движения, то функция $\hat P\psi_П$ - также решение УШ:

$(\hat H_n-E)\hat P\psi_П=0.$

Поэтому правильные решения определенной симметрии $\psi_S(\psi_A)$ получаются путем составления (анти)симметричных линейных комбинаций функций $\hat P\psi_П$ .

Назад | Вперед

MMOnline

Посмотреть комментарии[1]