Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.pms.ru/content/rus/news_list/1546/FIZ-part1.doc Дата изменения: Fri Jul 16 12:06:15 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:06:28 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: сверхзвуковой

Специализированный учебно-научный центр -
факультет МГУ им. М.В. Ломоносова,
Школа имени А.Н. Колмогорова
Кафедра физики







ПОСОБИЕ
по решению задач по физике

МЕХАНИКА

Кинематика. Динамика материальной точки


Часть I



Т.П.Корнеева







2010 г.



































КИНЕМАТИКА
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ.

I. КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

Задача 1. «Уравнение движения»
Уравнение движения материальной точки имеет вид: x(t) = 8t - 2t2.
Найдите координату точки через 6 с и путь, пройденный ею за это время.
Постройте графики x(t), s(t), vx(t).

Поскольку x(t) - квадратичная функция времени, движение, описываемое
этой функцией, есть движение с постоянным ускорением. Общий вид такого
движения есть:
x(t) = xo + voxt + axt2/2, (1)
где vox и ax - проекции векторов vo и a на ось ОX.
Сравнивая уравнение (1) с заданным в условии, получаем значения :
xo = 0(м); vox = + vo = 8(м/с); ax = - a = - 4 (м/с2).
Здесь буквами vo и a обозначены величины векторов vo и a.
Таким образом, уравнение, заданное в условии, описывает движение тела
из начала координат в положительном направлении оси OX с отрицательным
ускорением. Схема такого движения может быть условно представлена на
рисунке:

[pic]

Здесь xп означает координату точки поворота, т.е. точки, в которой тело
меняет направление движения.
Координата точки через 6 с после начала движения находится простой
подстановкой:
xк = x(6) = 8ћ6 - 2ћ36 = - 24 (м).
Для того, чтобы найти пройденный путь, необходимо найти координату
точки поворота xп. Момент времени поворота tп, соответствующий координате
xп, можно найти несколькими способами.

Физический способ.
Закон изменения скорости тела для нашего случая имеет вид:
vx(t) = vo - at (2)
В момент поворота скорость равна нулю и время tп можно найти из уравнения:
vx(tп) = vo - atп = 0, откуда tп = vо /a = 2 (с).

Графический способ.
Графически зависимость x(t) изображается параболой:
[pic]
В точке поворота скорость тела равна нулю, а касательная к графику
x(t) - горизонтальна. Вершина параболы находится посередине между нулями
функции, т.е. между корнями уравнения x(t) = 0.
Корни уравнения: t1 = 0, t2 = 4 (с), откуда tп = 2 (с).

Математический способ.
В точке поворота производная координаты по времени равна нулю: [pic] =
8 - 4t = 0, откуда tп = 2 (с).
В момент времени tп = 2 (с) тело будет находиться в точке с координатой
xп = x(2) = 8 (м).
Из схемы движения видно, что путь, пройденный телом за время t3 = 6 с
мы найдем, если сложим длины тех участков траектории, по которым тело
двигалось в одну сторону:
s(t3) = (xп - xo( + (xп - xк( = 40 (м).
Чтобы правильно изобразить график зависимости пути от времени s(t),
необходимо понять, что при движении тела вдоль траектории пройденный путь
все время увеличивается, и скорость движения тела вдоль прямолинейной
траектории есть модуль проекции скорости: v(t) = (vx(t)(
Математически это можно выразить так:
[pic] = ([pic]( .
На графике зависимости x(t) касательная к кривой в точках,
соответствующих моментам времени t ( tп составляет тупой угол с осью t,
что соответствует значениям [pic] ( 0, или vx ( 0.
Значит, чтобы получить график s(t), мы должны ветвь параболы,
соответствующую значениям t ( tп , отразить относительно касательной в
точке (xп , tп) , поскольку при этом в каждый момент времени скорость v
=[pic] будет такой же по величине, что и vx(t), но положительной.
[pic]
Заметим, что в точке (xп, tп) меняется характер выпуклости кривой s(t).
В математике такую точку называют точкой перегиба.
Построим теперь график зависимости vx(t). Закон изменения скорости
задается уравнением (2). Нетрудно видеть, что график такой зависимости -
прямая с отрицательным угловым коэффициентом. В момент времени tп скорость
равна нулю, а в момент времени tк = 6 с:
vx (6) = - vк = - 16 (м/с).

[pic]

Покажем, как найти перемещение и путь за время tк, используя график
скорости. Изменение координаты за время t можно найти как «площадь под
графиком» зависимости vx(t), приписывая знак «+» площади фигуры,
расположенной над осью « t », и знак «-» в случае, когда фигура расположена
под осью « t ».
[pic]

В нашем случае
x(tк) - x(0) = xк = votп/2 - vк(tк - tп)/2 = - 24 (м).
Очевидно, что подобная операция с графиком функции v(t) = ( vx(t) (
приведет к нахождению пройденного пути.

[pic]
s(tк) = votп /2 + vк(tк - tп )/2 = 40 (м)

Ответ: x(6) = - 24 м; s(6) = 40 м.


Задача 2. «Колонна»
Спортсмены бегут колонной длины L с одинаковой скоростью v. Навстречу
им бежит тренер со скоростью u (u ( v). Каждый спортсмен, поравнявшись с
тренером, поворачивает назад и бежит с той же скоростью v. Какова будет
длина колонны, когда все спортсмены развернутся?

Рассмотрим решение задачи в различных системах отсчета (СО).

1. СО «Земля».
Направим ось «x» в сторону движения тренера и выберем начало координат в
месте встречи тренера с 1-ым спортсменом. Время будем отсчитывать, начиная
с момента их встречи.
[pic]
В начальный момент: x т(0) = 0;
x1(0) = 0;
xN(0) = L,
где xN - координата последнего спортсмена.
Запишем уравнения движения для всех тел системы:
xт(t) = ut - тренер
x1(t) = vt - первый спортсмен
xN(t) = L - vt - последний спортсмен
Встреча последнего спортсмена с тренером произойдет в момент времени
t1, когда их координаты сравняются:
xт(t1) = xN(t1),
ut1 = L - vt1, откуда t1 = L / (u + v).
В этот момент первый спортсмен будет находиться в точке с координатой
x1(t1) = Lv /(u + v), а последний спортсмен - в точке с координатой xN(t1)
= L - vL / (u + v).
Начиная с этого момента, расстояние между спортсменами не меняется, т.к.
все они бегут в одну сторону с одинаковой скоростью.
Новая длина колонны L1 равна расстоянию между первым и последним
спортсменом:
L1 = | x1(t1) - xN(t1) | = L(v - u)/ (v + u).

2. СО «Тренер»
Поскольку тренер бежит со скоростью u , чтобы перейти в эту систему
отсчета, надо из векторов скоростей всех тел вычесть вектор скорости u .
Тогда: скорость тренера равна нулю.
скорость 1-го спортсмена v1 = v - u,
скорость N-го спортсмена vN = v + u,

[pic]

Считая, что xт(t) = 0, т.е. тренер находится в начале координат, запишем
уравнения движения для первого и последнего спортсменов
x1(t) = v1t
xN(t) = L - vNt.
Встреча последнего спортсмена с тренером произойдет, когда последний
спортсмен будет находиться в начале координат: xN(t1) = 0 ,
L - vN t1 = L - (v + u)t1 = 0,
откуда
t1 = L / (v + u).
В этот момент 1-ый спортсмен находится от начала координат (и от последнего
спортсмена) на расстоянии
x1(t1) = v1t1 = L(v - u) / (v + u).
Это и есть новая длина колонны L1.

Сравнивая эти два решения, можно заметить, что более короткий путь к
ответу дает решение в СО «Тренер». Поэтому, прежде чем начинать решение,
бывает полезно задуматься о выборе системы отсчета. Однако следует
подчеркнуть, что решение может быть найдено в любой системе отсчета, если
оно проведено грамотно.

Ответ: L1 = L(v - u) / (v + u)







Задача 3. «Аэростат»

Аэростат равномерно опускается со скоростью u . Из него бросают вверх
предмет со скоростью vo относительно аэростата (vo ( u). Каким будет
расстояние между аэростатом и брошенным телом в момент наивысшего подъема
тела относительно земли? Каково наибольшее расстояние Lmax между телом и
аэростатом? Через какое время ( после бросания тело поравняется с
аэростатом?
Постройте графики движения тел в системах отсчета «Земля» и
«Аэростат».

СО «Аэростат».
В этой системе отсчета тело имеет начальную скорость vo, направленную
вверх. Применяя формулы равноускоренного движения, получим время подъема
тела относительно аэростата
t1 = vo/g ,
и максимальное расстояние между телом и аэростатом
Lmax = vo2/2g.
Время движения тела до встречи с кабиной есть
( = 2t1 = 2vo/g.
Чтобы ответить на первый вопрос задачи, заметим, что в момент
максимального подъема тела относительно земли, оно движется вверх
относительно аэростата со скоростью аэростата u. Расстояние между телом и
аэростатом в этот момент равно
L = (vo2 - u2)/2g.
Выберем ось координат «y», направленную вверх, и совместим начало
координат с аэростатом.
График движения тела представляет собой параболу.
[pic]

СО «Земля».
Относительно земли тело имеет начальную скорость, равную (vo - u) и
направленную вверх.
Для описания движения выберем ось координат «y», направленную вверх, и
совместим начало координат с поверхностью земли.
Уравнения движения тела и аэростата имеют вид:
yт(t) = yo + (vo - u)t - gt2/2 (*)
yа(t) = yo - ut
На графике y(t) движение тела изображает парабола, а движение аэростата -
прямая.
[pic]

Максимальная высота тела над поверхностью земли достигается в момент
времени t2, когда скорость тела равна нулю:
t2 = (vo - u)/g.
Найти расстояние между телом и аэростатом в этот момент, мы можем из
уравнений движения (*).
В момент времени t2
yт(t2) = yo + (vo - u)2/g
yа(t2) = yo - u(vo - u)/g
Расстояние между ними в этот момент равно
L = | yт - yа | = (vo2 - u2)/2g.
Заметим, что в тот момент, когда тело находится в высшей точке своего
подъема относительно земли, расстояние между ним и аэростатом не является
наибольшим. Дело в том, что аэростат продолжает опускаться, и когда тело
начнет двигаться вниз, расстояние между ними будет увеличиваться до тех
пор, пока их скорости не сравняются. Начиная с этого момента, они будут
сближаться, а расстояние между ними уменьшаться. На графике показан момент
времени t1, когда касательная к параболе имеет тот же наклон к оси « t »,
что и прямая, изображающая движение аэростата, т.е. в этот момент скорости
тела и аэростата одинаковы..
Аналитически величину t1 в СО «Земля» можно найти, записав закон
изменения скорости тела в зависимости от времени:
vy(t) = (vo - u) - gt
В момент t1, когда скорости сравняются, vy(t1) = - u , откуда получаем
(vo - u) - gt1 = - u, > t1 = vo/g.
Тот же результат был получен ранее для момента времени t1 в СО «Аэростат».
Расстояние Lmax можно найти, используя уравнения движения (*):
Lmax = | yт(t1) - yа(t1) | = vo2/2g,
что совпадает с полученным ранее результатом.
Время встречи тоже находится из уравнений движения: yт(() = yа(()
yo + (vo - u)( - g(2/2 = yo - u(, > ( = 2vo/g.

Ответ: L = (vo2 - u2)/2g; Lmax = vo2/2g,; ( = 2vo/g.


Задача 4. «Пассажир и поезд»
Пассажир первого вагона прогуливался по перрону. Когда он был у
последнего вагона, поезд неожиданно начал двигаться с ускорением а.
Пассажир сразу же побежал к своему вагону. С какой наименьшей скоростью он
должен бежать, чтобы успеть сесть в первый вагон? Длина поезда (не считая
локомотива) равна L .

Направим координатную ось «x» вдоль направления движения. Пусть в
начальный момент пассажир находился в начале координат, xп(0) = 0, тогда
координата первого вагона x1(0) = L.
Движение пассажира описывается уравнением
xп (t) = Vt,
а движение первого вагона - уравнением
x1(t) = L + at2/2.
В момент встречи to их координаты совпадают:
xп (tо) = x1(tо).
Время встречи to может быть найдено как корень уравнения
Vt = = L + at2/2, (1)
или в более привычном виде:
at2/2 - Vt + L = 0.
Квадратное уравнение (1) может иметь два корня, один корень или вовсе не
иметь корней.
Изобразим на графике x(t) функции xп (t) и x1(t).


[pic]
Парабола изображает график движения поезда, а прямые 1, 2 и 3 -
графики движения пассажира с различными скоростями, причем V1 ( V2 ( V3.
Точки пересечения прямой и параболы дают значения корней уравнения (1).
Прямая 1 не имеет точек пересечения с параболой, что означает, что
пассажир никогда не догонит первый вагон, если будет бежать со скоростью
V1.
Прямая 3 имеет две точки пересечения с параболой в моменты времени t1 и
t3, что означает, что пассажир, бегущий со скоростью V3, имеет возможность
догнать вагон в момент t1, перегнать его и снова поравняться с ним в момент
t3.
Если же пассажир будет бежать со скоростью V2, соответствующей прямой
2, то его встреча с вагоном произойдет только в момент времени t2. Заметим,
что, как видно из чертежа, скорость поезда в этот момент также будет равна
V2 (прямая касается параболы). Для пассажира скорость V2, при которой он
еще может догнать поезд, является минимальной из всех возможных.
Вернемся к уравнению (1). Очевидно, что при движении пассажира со
скоростью V2 уравнение (1) имеет только один корень. Значит, между
параметрами уравнения существует такое соотношение, что его дискриминант
равен нулю:
D = V2 - 2aL = 0,
Откуда получаем Vmin = [pic].

Ответ: Vmin = [pic].


Задача 5. «Пассажир и провожающий»
В момент, когда поезд тронулся, человек, провожающий пассажира поезда,
начал равномерно бежать по ходу поезда со скоростью vo = 3,5 м/с. Принимая
движение поезда равноускоренным, определить скорость поезда в тот момент,
когда пассажир, которого провожали, снова поравнялся с провожающим.

1-ый способ решения (координатный).
Запишем уравнения движения для провожающего x1(t) и пассажира x2(t), а
также зависимость от времени скорости пассажира (и поезда):
x1(t) = vot; x2(t) = at2/2; v(t) = at.
В момент встречи t1 координаты обоих тел одинаковы:
vot1 = at12/2 (1)
При этом скорость пассажира (и поезда) равна
v(t1) = v1 = at1. (2)
Получившаяся система двух уравнений (1) и (2) содержит три неизвестные
величины (а, t1, v1), поэтому решить ее полностью не удастся, но если
учесть, что нас интересует произведение at1, легко найти ответ:
v1 = 2vo = 7м/с.
Подобная ситуация, когда число уравнений меньше, чем полное число
неизвестных, нередко возникает, если мы ищем связь между величинами одной
размерности, в данном случае - соотношение между скоростями. Это
соотношение не зависит от того, сколько времени прошло до встречи пассажира
и провожающего, или от того, с каким ускорением двигался поезд.

2-й способ решения (графический).
Изобразим графики зависимости скорости от времени для пассажира и
провожающего.
[pic]
Поскольку как провожающий, так и пассажир переместились на одинаковое
расстояние, площади прямоугольника со сторонами vo, t1 и треугольника со
сторонами v1, t1 должны быть равны. Так будет только в случае равенства
заштрихованных треугольников, т.е.
v1 - vo = vo, v1 = 2vo.

Ответ: v1 = 2vo = 7 м/с.


Задача 6. «Шайба»
По гладкой наклонной доске толкнули снизу вверх шайбу. На расстоянии L =
30 см от начала пути шайба побывала дважды: через t1 = 1с и через t2 = 2с
после начала движения. Определить начальную скорость и ускорение шайбы.

Направим ось «x» вверх вдоль доски. Движение шайбы описывается
уравнением:
x(t) = vot - at2/2.
Нарисуем график такого движения.
[pic]
Моменты времени t1 и t2 являются корнями квадратного уравнения при x = L:
vot - at2/2 = L,
или в преобразованном виде
t2 - 2(vo/a) t + 2L/a = 0.
По теореме Виетта
t1 + t2 = 2vo/a, t1t2 = 2L/a,
откуда находим:
vo = L(t1 + t2)/t1t2 = 45 см /с;
a = 2L/t1t2 = 30 см/с2.

Ответ: vo = L(t1 + t2)/t1t2 = 45 см /с;
a = 2L/t1t2 = 30 см/с2.


Задача 7. «Капли»
С каким промежутком времени оторвались от карниза крыши две капли, если
спустя время Т = 2 с после начала падения второй капли расстояние между
каплями было равно S = 25 м? (Принять g — 10 м/с2)

Пусть первая капля упала на ( секунд раньше второй. Тогда, если
отсчитывать текущее время от начала падения второй капли, уравнения
движения капель имеют вид:
Y1(t) = g(t + ()2/2
Y2 (t) = gt2/2
Расстояние между каплями в момент времени Т есть:
S = Y1(T) - Y2(T) = g(T + ()2/2 - gT2/2 = gT( + g(2/2
Таким образом, для времени ( получаем квадратное уравнение.
Решение этого уравнения
( = ( T ( (T2 + 2S/g)1/2
Выбирая (по условию) положительный корень, получаем
( = 1с.
Ответ: ( = 1с.


Задача 8.
Из точек А и В, расположенных на одной вертикали на расстоянии L = 100м
друг от друга, одновременно бросают навстречу друг другу два тела с
одинаковой скоростью vo = 10 м/с. Через сколько времени и в каком месте эти
тела встретятся? (Принять g — 10 м/с2)

Пусть точка А находится выше точки В. Направим ось "Y" вверх и совместим
ее начало с точкой В.
Запишем уравнения движения для каждого из тел:
YB(t) = vot - gt2/2
YA(t) = L - vot - gt2/2
В момент встречи
YA(t1) = YB(t1),
откуда получаем
t1 = L/2vo = 5 c.
Координату места встречи найдем, подставив время t1 в любое из
уравнений: Y1 = L/2 - gL2/vo2 = - 75
м.
Заметим, что расстояние между телами изменяется линейно со временем:
YA(t) - YB(t) = L - 2vot.
Это говорит о том, что относительная скорость (или скорость сближения) тел
остается постоянной, если тела движутся с одинаковым ускорением.
В самом деле, в векторном виде:
vA(t) = voA + gt
vB(t) = voB + gt
Скорость тела А относительно тела В есть
vотн = vA - vB = voA - voB
и не зависит от времени. Так что время встречи тел может быть найдено
сразу:
t1 = L/vотн = L/2vо.

Ответ: t1 = L/2vo = 5c;
Y1 = L/2 - gL2/vo2 = - 75 м.


Задача 9. «Средняя скорость»
Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v1 = 40км/ч, а
вторую половину - со скоростью v2 = 60 км/ч. Найти среднюю скорость
движения автомобиля на всем пройденном пути.

Средняя скорость движения по траектории (иногда говорят «путевая
скорость») определяется как отношение пройденного пути ко времени движения:

(v( = S/t.
В данном случае время движения равно
t = S/2v1 + S/2v2 ,
откуда для средней скорости получаем:
(v( = 2v1v2/(v1 + v2) = 48 км/ч.
Получившееся значение средней скорости меньше среднего арифметического
скоростей v1 и v2 , поскольку с большей скоростью автомобиль ехал меньшее
время.
Если бы соотношение пройденных путей в рассмотренной задаче было не S/2
и S/2, а какое-то другое, то и формула для (v( изменилась бы.
Рассмотрим, например, ситуацию, когда тело меняет свою скорость через
равные промежутки времени. Пусть в течение времени ( оно движется со
скоростью v1, потом столько же времени со скоростью v2, потом столько же
времени со скоростью v3.
Тогда средняя скорость равна
(v( = (v1( + v2( + v3( )/3( = ( v1 + v2 + v3)/3,
или среднему арифметическому значению величин v1,v2,v3. Вычислим среднюю
скорость за какой-либо промежуток времени при равноускоренном движении для
случая, когда проекция скорости не меняет знак.
Изобразим на графике зависимость vx(t) при vox ( 0, ax ( 0: vx(t) = vo + at
[pic]
Путь, пройденный телом от момента времени t1 до момента времени t2,
совпадает с величиной перемещения и может быть найден как площадь
заштрихованной фигуры:
S12 = x2 - x1 = (v1 + v2)(t2 - t1)/2 .
При этом
(v( = S12/(t2 - t1) = (v1 + v2)/2
Таким образом, при равноускоренном движении средняя скорость равна
среднему арифметическому значению начальной и конечной скоростей на
промежутке (t1, t2(, если их проекции на ось координат имеют одинаковый
знак.
Проверьте, будет ли выполняться аналогичное соотношение для случая,
когда тело меняет направление движения (v1x = v1, v2x = - v2). Если не
будет, выясните, какой физический смысл имеет величина (v1x + v2x)/2 в этом
случае.

Задача 10. «График»
График зависимости проекции скорости некоторого тела на координатную
ось от времени изображен на рисунке. Начертить график зависимости
координаты тела от времени.
[pic]
Пусть при t = 0 точка находится в начале координат. В интервале (0, t1(
движение происходит с постоянным ускорением a1 = v/t1 , при этом v(0) = 0.

Зависимость x (t) изображается участком параболы с вершиной в начале
координат.
В интервале (t1, t2( тело движется с постоянной скоростью v. График
зависимости x(t) на этом интервале - прямая. Угол наклона прямой
определяется величиной скорости v и совпадает с углом наклона касательной к
параболе в точке t = t1.
При t ( t2 ускорение тела отрицательно, а по величине равно a2 = v/(t3
- t2). Такое движение изображается на графике параболой, обращенной ветвями
вниз.
Вершина параболы соответствует моменту времени t3, т.к. в этот момент
скорость равна нулю. Заметим, что угол наклона касательной к параболе в
точке t = t2 равен углу наклона прямой, изображающей равномерное движение в
интервале (t1, t2(.
Таким образом, график функции x(t) представляет собой плавную кривую,
не имеющую изломов. Это следует из того, что скорость меняется непрерывно,
а скорость на графике x(t) численно равна величине тангенса угла наклона
касательной к оси t (?x/?t). Непрерывность изменения скорости обусловлена
тем, что ускорение не может быть сколь угодно большим ((v( 0 при (t( 0).
Напротив, ускорение может меняться скачком на любую величину. Пример:
кирпич падает с крыши - ускорение меняется от нуля до g = 9,8 м/с2
мгновенно.
Приведем аналитическую запись всех участков кривой x(t):
x(t) =a1t2/2 0 ( t ( t1
x(t) = x1 + vt t1 ( t ( t2
x(t) = x2 + vt - a2t2/2 t ( t2,

где x1 = x(t1) = vt1/2; a1 = v/t1;
x2 = x(t2) = v(t2 - t1/2); a2 = v/( t3 - t2).







Задачи для самостоятельного решения

1. Решите задачу «Колонна» в СО, связанной с первым спортсменом.

2. Аэростат поднимается с земли вертикально вверх с ускорением а = 2 м/с2.
Через время ( = 5с от начала движения из него выпал предмет. Через какое
время этот предмет упадет на землю?

Ответ: t ( 3,4 с

3. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит точку на высоте h.
Промежуток времени между двумя прохождениями равен (. Найти начальную
скорость тела.

Ответ: Vo2 = (g(/2)2 + 2gh

4. Тело, брошенное вертикально вверх, проходит в первую секунду половину
высоты подъема. Какова величина пути, пройденного телом в последнюю
секунду движения?

Ответ: S = 28,6 м.

5. От движущегося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает
двигаться с прежней скоростью. Как будут относиться пути, пройденные
поездом и вагоном к моменту остановки вагона, если вагон двигался
равнозамедленно?

Ответ: S1: S2 = 2:1


6. Расстояние между станциями L = 3 км поезд проходит со средней скоростью
V = 54 км/ч. На разгон поезд затрачивает время t1 = 25 с, затем идет с
постоянной скоростью, а торможение занимает время t2 = 15 с. Считая
движение поезда при разгоне и торможении равнопеременным, найти
наибольшую скорость поезда во время движения. Решите задачу графически.

Ответ: v = 60 км/ч.

|Из одного гаража по одной и |[pic] |
|той же дороге выезжают две | |
|автомашины. Графики их | |
|скоростей представлены на | |
|рисунке, t1 = 5 мин, t2 = 9 | |
|мин. Когда вторая машина | |
|догонит первую? | |

Ответ: t3 = 15 мин.
















II. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ.
ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ.

Задача 1. «Черепахи»
|Три черепахи находятся в | |
|вершинах равностороннего |[pic] |
|треугольника со стороной а. Они | |
|начинают одновременно двигаться | |
|со скоростью V, причем каждая | |
|черепаха ползет по направлению к| |
|соседке, как показано на | |
|рисунке. Найти, где встретятся | |
|черепахи, когда это произойдет, | |
|и какой путь пройдет каждая из | |
|них. | |

Поскольку в начальный момент все черепахи находятся на одинаковом
расстоянии от центра треугольника и движутся одинаково по отношению к
центру, очевидно, что в любой момент времени они будут находиться на
одинаковом расстоянии от центра, т.е. их положения всегда образуют
правильный треугольник, стороны которого непрерывно уменьшаются, а вершины
поворачиваются вокруг центра. Отсюда следует, что черепахи встретятся в
центре треугольника.
Время их движения и длину пройденного пути можно найти различными
способами. Отметим только, что траектория движения каждой черепахи будет
криволинейной, поскольку направление ее скорости непрерывно меняется
относительно любой неподвижной оси.

Способ решения ?1.
Найдем скорость сближения какой-либо пары черепах, например,
находящихся в точках 2 и 3.

[pic]

Для этого разложим вектор V3 на составляющие: вдоль стороны 2-3 (VII) и
перпендикулярную (V( ). Тогда скорость сближения черепах будет равна
U = V + VII = V + V cos 60o = 3V/2.
Эта скорость остается постоянной при движении черепах, а поскольку
начальное расстояние между ними было равно а, то они встретятся через время

( = a/u = 2a/3V.
Поскольку все это время каждая из них движется с постоянной по величине
скоростью, пройденный путь составит
S = V( = 2a/3.
Все приведенные рассуждения относятся к любой паре черепах.

Способ решения ?2.

Поскольку черепахи встречаются в т.О, представим движение каждой
черепахи как сумму двух движений: движение к центру со скоростью Vц и
движение в перпендикулярном направлении со скоростью Vвр.
[pic]
При движении черепах каждый из этих векторов меняет свое направление
относительно неподвижной системы отсчета, но по величине остается
постоянным:
Vц = V cos30o = V[pic]/2; [pic]
Vвр = V sin30o = V/2.
Поскольку первоначальное расстояние черепах от центра равно а/[pic],
время движения черепах до центра равно
( = а/(Vц(3) = 2а/3V,
а пройденный путь равен S = V( = 2a/3.
Заметим, что скорость Vц - это скорость уменьшения размеров
треугольника, а скорость Vвр - линейная скорость вращения вершин
относительно т.О. Поскольку Vвр постоянна, а расстояние до т.О уменьшается,
угловая скорость вращения вершин треугольника неограниченно возрастает по
мере приближения черепах к т.О.

Способ решения ?3.
Посмотрим, как движутся черепахи друг относительно друга. Перейдем,
например, в систему отсчета, связанную с черепахой ? 2.
[pic]
Из чертежа видно, что, как черепаха ?1, так и черепаха ?3 не движутся
прямо на черепаху ?2. Однако, проекции каждой из этих скоростей на
направление к черепахе ?2 одинаковы и равны V(1 + cos60o) = 3V/2, а это
есть не что иное, как скорость сближения черепах, найденная ранее.

Ответ: ( = 2а/3V, S = 2a/3.


Задача 2. «Клин»
|Клин образует с |[pic] |
|горизонтальной опорой | |
|угол ( = 30о. | |
|Его выталкивают | |
|вертикальным стержнем, | |


опускающимся с постоянной скоростью U. Какова скорость клина?
В задачах часто встречаются ситуации, когда движение различных тел
ограничено другими телами, Так, в данной задаче движение клина ограничено
горизонтальной плоскостью, а движение стержня ограничено вертикальными
направляющими, при этом конец стержня все время движется вдоль поверхности
клина. В таких случаях говорят, что на движение тел наложены кинематические
связи, ограничивающие их движение.
Чтобы найти соотношение между скоростями и ускорениями различных тел,
можно воспользоваться различными способами.

Способ решения ? 1. Бесконечно малые перемещения.
Данный способ носит универсальный характер, хотя иногда бывает
достаточно трудоемким.
Рассмотрим изменение положения тел за небольшой промежуток времени (t.
[pic]


За это время все точки клина переместились по горизонтали на расстояние
(x = АC, при этом стержень переместился по вертикали на расстояние (y = АB.


[pic]

Поскольку поверхность клина перемещается параллельно самой себе, ( АСВ
= ( и АС/АВ = ctg(, т.е.
(x = ctg(((y.
Разделив обе части равенства на (t, получим
(x/(t = ctg((((y/(t), или
V = U ctg(, где V - скорость клина.
Заметим, что в данной задаче величина и направление векторов скорости
тел не зависят от времени, так что промежуток времени (t не обязан быть
малым. Однако данный метод применим и к другим задачам, где малость
промежутка времени оказывается необходимым условием правильности решения
задачи данным способом.

Способ решения ? 2. Сложение движений.
Поскольку конец стержня все время касается поверхности клина, вектор
скорости стержня относительно клина Vотн направлен вдоль его поверхности.
[pic]
Поскольку Vотн = U - V , векторы скоростей составляют треугольник,
подобный по форме клину:
Отсюда сразу получаем:
V = U ctg(
Ответ: V = U ctg( = U[pic]


Задача 3. «Ползунок»
|К ползунку, который может |[pic] |
|перемещаться по направляющей | |
|рейке, прикреплен шнур, | |
|продетый через кольцо. Шнур | |
|выбирают с постоянной скоростью| |
|V. | |


С какой скоростью движется ползунок в тот момент, когда шнур составляет с
направляющей рейкой угол (?

Эта задача, как и задача «Клин», описывает движение тел со связями.
Здесь также возможны различные способы решения.

Способ решения ? 1. Бесконечно малые перемещения.

Данный способ позволяет описывать движение материальной точки в
случаях, когда меняется сразу несколько геометрических параметров,
характеризующих данную систему тел. В нашем случае при движении ползунка
изменяется длина отрезка шнура между ползунком и кольцом, а также угол (
между шнуром и направляющей рейкой.
Рассмотрим изменение положения ползунка в течение небольшого промежутка
времени (t. Пусть за это время ползунок переместился из точки А в точку А1.
[pic]
Обозначим перемещение ползунка (X = АА1. Проведем из т. О дугу радиусом
ОА1, тогда отрезок АВ будет равен изменению длины отрезка шнура (L. Заменим
теперь дугу А1В хордой А1В и заметим, что если ( АОА1 мал (а мы всегда
можем выбрать такой малый промежуток времени, что этот угол будет
достаточно малым), треугольник АВА1 является прямоугольным и тогда
АВ = АА1cos(
и, соответственно,
(L = (X cos(.
Разделив обе части равенства на (t, получим:
(L/(t = ((X/(t) cos(.
В полученном соотношении
(X/(t = U - скорость ползунка,
(L/(t = V - скорость, с которой выбирают шнур.
Мы получили, что ползунок движется со скоростью
U = V/cos(.
Проанализируем полученное выражение. При малых углах ( ((( 0) U ( V,
что очевидно, т.к. на большом расстоянии от т. О шнур почти параллелен
рейке.
Если же ( ( (/2, скорость ползунка неограниченно возрастает (U ( (),
что на первый взгляд кажется абсурдным. Однако здесь следует принять во
внимание, что при таком росте скорости растет и ускорение ползунка, что
приводит к резкому возрастанию силы натяжения в шнуре. Таким образом, в
реальной физической ситуации осуществить вытягивание шнура с постоянной
скоростью невозможно при ( ( (/2.

Способ решения ? 2. Сложение движений.
Рассмотрим движение конца шнура, прикрепленного к ползунку.
[pic]
Поскольку отрезок шнура между ползунком и кольцом все время
укорачивается, конец шнура приближается к т. О со скоростью V (V (( OA). С
другой стороны, отрезок шнура поворачивается вокруг т. О, при этом конец
шнура имеет линейную скорость вращения Vвр (Vвр ( ОА). Результатом сложения
этих двух движений является движение конца шнура вместе с ползунком вдоль
направляющей рейки со скоростью U: U = V + Vвр
Из треугольника скоростей получается результат:
U = V/cos(.
Данное рассмотрение позволяет понять ошибку тех, кто пытается найти
скорость U как горизонтальную составляющую поступательной скорости конца
шнура, и принимает за правильный результат величину U1 = V cos(.
Необходимо учесть, что вращательная скорость Vвр = V tg( также имеет
горизонтальную составляющую U2
U2 = Vвр sin( = = V sin2(/cos(.
Тогда, учитывая, что U = U1 + U2, мы получим правильный результат:
U = V cos( + V sin2(/cos( = V/cos(.
Способ решения ?3. Геометрический.

Этот способ основан на чисто формальном использовании геометрических
соотношений, но иногда он очень быстро приводит к ответу.
[pic]
Как видно из рисунка, при любом положении ползунка три точки А, О и С
образуют прямоугольный треугольник. При движении ползунка в этом
треугольнике меняются длины гипотенузы АО и катета АС, но длина катета ОС
остается неизменной.
Обозначим:
АС = X(t);
AO = L(t);
OC = H = const.
По теореме Пифагора
L2 = X2 + H2 (()
Это уравнение выражает кинематическую связь, наложенную на возможные
движения тел в рассматриваемой системе. Любые другие соотношения в (АОС
тоже отражают эту связь, но мы выбрали уравнение(*), потому что в него
входят интересующие нас линейные величины.
Продифференцируем теперь уравнение (*) по времени:
2L(dL/dt) = 2X(dX/dt).
Поскольку
dL/dt = V,
dX/dt = U,
с учетом того, что
L/X = cos(,
получаем уже известный результат:
U = V/cos(.

Ответ: U = V/cos(.

Итак, рассмотрев 3 способа решения одной задачи, мы можем сделать вывод
относительно их применимости. Наиболее наглядным является, конечно, способ
?2, но если на его пути возникают трудности, воспользуйтесь способом ?1,
который при грамотном применении всегда приведет Вас к правильному
результату. Что касается способа ?3, то он не всегда возможен, но если его
удается применить, то он обычно эффективен.



Задача 4. «Рыбак и шляпа»
Рыбак плывет в лодке против течения. Когда он проплывал под мостом, у
него слетела шляпа. Рыбак заметил это только через 30 мин, и сразу повернул
обратно. Шляпу он догнал на расстоянии 5 км от моста. Найти скорость
течения реки, если рыбак гребет все время одинаково.

В данной задаче удачный выбор системы отсчета позволяет получить ответ
практически устно. Перейдем в систему отсчета (СО) «Вода». Эта СО движется
относительно берега со скоростью течения реки, и в этой СО рыбак плывет все
время с одной и той же по величине скоростью, а его шляпа стоит на месте.
Отсюда следует, что если рыбак плыл от места, где осталась шляпа, в течение
времени t1 = 30 мин, то и обратно до встречи со шляпой он плыл тоже 30 мин,
так что всего он провел без шляпы время ( = 2t1 = 1 ч.
Теперь вернемся в СО «Берег». За время ( = 1 час шляпа уплыла вместе с
водой на 5 км, значит, и скорость течения U = 5 км/ч.

Покажем теперь, как решается задача в СО «Берег».
Направим ось координат X в сторону течения реки, а начало координат
совместим с мостом.

[pic]
Обозначим скорость течения реки U, скорость лодки относительно воды V
и момент времени поворота t1.
Уравнения движения шляпы и рыбака при t ( t1 имеют вид:
Xш (t) = Ut
Xр (t) = - (V - U)t1 + (V + U)(t - t1)
В момент встречи рыбака со шляпой t = ( и
Xш (() = Xр ((),
U( = - (V - U) ( + (V + U)( ( - t1).
Раскрывая скобки, находим ( = 2t1.
Зная, что Xш (() = U( = 5 км, получаем
U = 5 км/ч

Ответ: U = 5 км/ч

Заметим, что для описания данной физической ситуации в СО «Берег»,
понадобилось ввести скорость лодки относительно воды, не заданную в условии
задачи. Во многих физических задачах при описании поведения системы
приходится использовать величины, которые явно не фигурируют в условии,
однако характеризуют свойства физической системы. В ответ эти величины не
входят, и найти их обычно не представляется возможным, т.к. вопрос задачи
касается какой-либо частной характеристики поведения системы. (В нашем
случае можно утверждать, что скорость лодки может иметь любую величину,
превышающую скорость течения реки).


Задача 5. «Красное смещение»
Астрономы из галактики А видят, что все другие галактики удаляются от
них со скоростями, пропорциональ-ными расстоянию: VB = k RAB, VC = k RAC, и
т.д. Что видят астрономы из галактики В?

В СО «Галактика А» «разбегающиеся» галактики выглядят следующим
образом:
[pic]

Задача легко решается методами векторной алгебры. Запишем скорости
галактик А и С в СО «Галактика В»:
VAI = - VB = -k RAB = k RBA
VCI = VC - VB = k( RAC - RAB) = k(RBA + RAC),
[pic]
Как видно из рисунка, RBA + RAC = RBC .
Следовательно,
VCI = k RВС.
Аналогично VDI = k RВD и т.д.

Ответ: Астрономы галактики В видят точно такую же картину.

Заметим, что описанная ситуация имеет место в реальном мире. Явление
разбегания галактик было обнаружено выдающимся американским астрономом
Эдвином Хабблом в 1929 г. По современным данным коэффициент
пропорциональности k (он носит название постоянной Хаббла) равен 75 км/с
на каждый мегапарсек. (1 Мпс = 3,26 млн.св.лет = 3(1019 км).


Задача 6. «Дороги»
Два автомобиля приближаются к перекрестку со скоростями V1 и V2 по
взаимно перпендикулярным дорогам. Когда первый автомобиль достиг
перекрестка, второй находился от него на расстоянии Lo. Каково минимальное
расстояние между автомобилями в процессе движения? Где будут находиться
автомобили в этот момент?

Способ решения ?1 (векторный).
Изобразим на чертеже положение автомобилей в начальный момент времени.

[pic]
Перейдем в СО, связанную с каким-либо из автомобилей, например, с
автомобилем ?1, который находится в т. О. Скорость автомобиля ?2 в этой СО
найдем как U = V2 - V1.
[pic]

На рисунке прямая АВ - траектория движения автомобиля ?2 в выбранной СО.
Скорость его движения постоянна по величине и направлению.
[pic]

В произвольный момент времени положение автомобиля ?2 определяется
точкой С на прямой АВ. При этом прямая О1С изображает дорогу, по которой
движется автомобиль ?2, а точка О1 - перекресток, т.к. относительно
автомобиля ?1 перекресток, как и все окружающие предметы, удаляется со
скоростью V1. Расстояние между автомобилями изображает отрезок ОС.
Минимальному расстоянию между автомобилями соответствует отрезок ОК,
перпендикулярный прямой АВ.
[pic]
При этом отрезки О1О и О1К соответствуют расстояниям автомобилей до
перекрестка.

Несложный расчет дает:
Lmin = OK = Losin(, где
sin( = V1/U = V1/(V12 + V2 )1/2
L1 = OO1 = OKcos( = Losin( cos(;
L2 = O1K = OKsin( = Losin2(.
Окончательно получаем:
Lmin = LoV1/(V12 + V2 )1/2
L1 = LoV1V2/(V12 + V22)
L2 = LoV12 /(V12 + V22).

Способ решения ?2 (координатный).

Свяжем прямоугольную систему координат XY с дорогами:
В начальный момент времени координаты автомобилей равны соответственно:
X(0) = Lo
Y(0) = 0.
В произвольный момент времени
X(t) = Lo - V2t,
Y(t) = V1t.
Расстояние между автомобилями в любой момент времени есть
L(t) = ( X2(t) + Y2(t))1/2.
Зависимость расстояния от времени легче проанализи-ровать, если
рассмотреть функцию L2(t):
L2(t) = L02 - 2V2Lot + (V12 + V22)t2.
Правая часть данного соотношения представляет собой обычный квадратный
трехчлен. Очевидно, что действительных корней он не имеет, т.к. автомобили
не встречаются. Поэтому график функции L2(t) должен иметь вид:

[pic]
Кривая на графике имеет минимум в некоторой точке t1. Из школьного
курса математики известно, что вершина параболы достигается при
t1 = LoV2/( V12 + V22).
Этот же результат может быть получен и путем нахождения минимума
функции с помощью несложного дифференцирования.
Подставляя найденное значение t1 в уравнение для L2(t), находим Lmin =
L(t1):
Lmin = LoV1 /(V12 + V22)1/2
L1 = Y(t1) = Lo(V1V2/(V12 + V22)(
L2 = X(t1) = Lo(V12 /(V12 + V22)(.

Ответ: Lmin = LoV1/(V12 + V2 )1/2
L1 = LoV1V2/(V12 + V22)
L2 = LoV12 /(V12 + V22).




Задача 7. «Кубики»
Через блок перекинута нерастяжимая нить с двумя кубиками на концах.
Блок тянут вверх с постоянной скоростью V. Найти скорость правого кубика в
тот момент, когда скорость левого кубика равна V2.

Предположим, что вектор скорости левого кубика V2 также направлен
вверх.
[pic]

Движение каждого кубика можно представить как сложное движение: вместе
с блоком и относительно блока.
Для левого кубика:
V2 = V + V2отн ,
где
V2отн = (V2 - V) скорость левого кубика относительно блока.
Для правого кубика
V1 = V + V1отн.
Поскольку нить нерастяжима, относительно блока кубики движутся с
одинаковыми по величине и противоположно направленными скоростями: V1отн =
- V2отн.
Для скорости правого кубика получаем:
V1 = V + V - V2 = 2V - V2.
Если направить ось координат Y вверх, то проекция скорости правого
кубика на эту ось равна V1y = 2V - V2 и может быть как положительной, так и
отрицательной, когда левый кубик движется вверх.
Если же левый кубик движется вниз, то правый будет двигаться вверх, и
его скорость будет равна V1y = 2V + V2.

Ответ: V1 = 2V ( V2





Задачи для самостоятельного решения.

1. Два катера, шедшие навстречу, встретились у моста и разошлись. Повернув
через время ( = 1 час, они вновь встретились на расстоянии L = 4 км от
моста. Определить скорость течения реки, полагая, что скорость катеров
относительно воды оставалась неизменной.




Ответ: u = L / 2( = 2 км /час


2. Под каким углом к берегу должна двигаться лодка, чтобы пересечь реку по
кратчайшему пути, если скорость воды u = 0,3 м/с, а скорость лодки
относительно воды v = 1,8 км/ч? Через какое время лодка достигнет берега,
если ширина реки L = 240 м?

Ответ: cos ( = u/v ( 53o; t = L/(v2 - u2)1/2 = 10 мин.

3. На тележке, движущейся прямолинейно по горизонтальной дороге со
скоростью u, установлена труба. Под каким углом к вертикали следует
наклонить трубу, чтобы капли воды, падающие вертикально со скоростью v,
пролетали трубу, не задевая стенок?[pic]

Ответ: tg ( = u/v.

4. Движущийся со скоростью v = 30 км/ч катер буксирует спортсмена на водных
лыжах. Буксировочный трос образует с вектором скорости катера угол ( =
150о, а с направлением движения лыжника угол ( = 60о. С какой скоростью u
движется в этот момент лыжник?

Ответ: u = v cos (( - ()/ cos ( = v[pic] ( 52 км/ ч.
5. Стержень длиной L = 1 м шарнирно соединен с муфтами А и В, которые
перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам. Муфта А движется с
постоянной скоростью vА = 30 см/с. Найти скорость муфты В в тот момент,
когда угол ( = 60о.
[pic]
Ответ: VB = VA ctg ( = 17,3 см/с.

6*. Звук двигателей сверхзвукового самолета, летящего на высоте H = 4 км,
доходит до наблюдателя на поверхности земли через время ( = 10 с после
пролета над ним самолета. Найти скорость самолета, если скорость звука с
= 330 м/с.

Ответ: V = cH /[(H2 - c2(2)]1/2 ( 584 м/с.