Учитывая, что подавляющее большинство постоянных участников форума считает Михалыча большим авторитетом в математике, часто обращается к нему за советом и разделяет точку зрения Михалыча по вопросу континуума, я решил принять все сказанное Михалычем за истину и построить свои рассуждения, отталкиваясь от истинных высказываний Михалыча, тем более, что я ничуть не сомневаюсь в истинности этих высказываний.
Рассмотрим множество чисел {1, 1/2, 1/3, :, 1/n, :}. Предположим, что это множество бесконечное. (В этом месте единственное отличие между образом мыслей моим и Михалыча. Михалыч, наверное, сказал бы так: констатируем, что это множество бесконечное, ибо он уверен в этом.)
Если это множество бесконечное, то оно счетное. С этим Михалыч согласен на все сто.
Далее следует истинное высказывание Михалыча: 'если пополнить счетное множество одним элементом, то опять-таки получится счетное множество'. Пополним наше множество одним элементом, а именно нулем. Полученное множество {1, 1/2, 1/3, :, 1/n, :, 0} будет 'опять-таки счетным'. С этим Михалыч тоже согласен.
Следующее истинное высказывание Михалыча: 'счетное множество можно нумеровать только в таком порядке, при котором между любыми двумя элементами будет не более конечного числа промежуточных'. Михалыч совершенно справедливо заметил, что счетное множество {1, 1/2, 1/3, :, 1/n, :, 0} нельзя нумеровать в порядке убывания, т.к. в этом случае между первым элементом 1 и последним элементом 0 будет бесконечное число промежуточных элементов. С другой стороны Михалыч настаивает, что счетное множество {1, 1/2, 1/3, :, 1/n, :, 0} можно нумеровать следующим образом: присвоить нулю первый номер, единице второй, а затем продолжить в порядке убывания. Но почему-то Михалыч не хочет замечать, что в этом случае между первым элементом 0 и вторым элементом 1 опять-таки будет бесконечное число промежуточных элементов. Поэтому таким способом указанное множество тоже нельзя нумеровать.
Хотя, может быть, я неправильно понял Михалыча, может быть он хотел сказать, что счетное множество можно нумеровать только в таком порядке, при котором между любыми двумя номерами будет не более конечного числа промежуточных номеров. Спасибо, конечно, за напоминание, но мы и не забывали, что между любыми двумя номерами n и m находится не более конечного числа промежуточных номеров, мы не забывали о том, что разность любых двух чисел (n-m) конечна.
Мы выяснили, что бесконечное множество {1, 1/2, 1/3, :, 1/n, :, 0} нельзя нумеровать ни первым способом, ни вторым способом (который предложил Михалыч). Более того, очевидно, что каким бы способом мы это множество ни нумеровали, всегда найдутся два элемента, между которыми будет бесконечное количество промежуточных элементов. Значит, данное бесконечное множество нельзя пронумеровать ни одним способом.
А если бесконечное множество нельзя пронумеровать ни одним способом, то это бесконечное множество несчетное.
Мы пришли к противоречию: с одной стороны Михалыч заявляет, что бесконечное множество счетное, с другой стороны из истинных высказываний Михалыча следует, что данное бесконечное множество несчетное, то есть обладает мощностью, большей, чем мощность натурального ряда. Следовательно, наше предположение о том, что множество чисел {1, 1/2, 1/3, :, 1/n, :} бесконечно было неверным. А раз это множество небесконечно, то оно конечно. А значит, единицу нельзя делить до бесконечности. |
» Альтернативный форум