: : : Нет, если вам приспичило, я могу ... (З-М)
: : :
: : : : : : : : (Зауряд-майор грозился дать альтернативное определение сферы без внешнего пространства, но так и замял дело). :) (В.Г.)
: : : : : : :
: : : : : : : Дык я вас ждал. Сфера, это когда ||x||=1. Покатит? %))) (З-М)
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : : Ну и в каком же пространстве заданы |x| и вообще те точки, набор которых и называется сферой? В каком пространстве определено то "равное для всех точек сферы" РАССТОЯНИЕ от центра (РАДИУС)? В каком пространстве выбран центр сферы? (В.Г.)
...
: : : : :
: : : : : На самом деле ... думать ... пока нет возможности... (З-М)
: : : :
...
: : :
: : : Касательная плоскость просто существует. (Ох) А то ведь по индукции сейчас придется вкладывать 3-х мерное в 4-х мерное, почему нет? %)))))) (З-М)
: :
: : Придется вкладывать... До тех пор, пока не доберетесь до того пространства, из которого пытаетесь наблюдать. И это пространство будет обязательно евклидовым. А метапространство для Вас недоступно. Про него ничего сказать не сможете. Да уже про свое сможете сказать только то, что оно евклидово. (В.Г.)
:
: Определение сферы, точнее шара дается в рамках метрического пространства X (вне зависимости ни от его размерности, ни от его евклидовости) и исчерпывающе выглядит так (вздумаете придираться к тому, что это определение "шара, а не сферы" (ну, мало ли, кто Вас знает), учтите, что с греческого σφαiρα переводится, как шар, мяч и т.п.):
: шар это множество Vr={x∈X, ρ(x0, x)≤r(<r)}, где x0∈X - центр шара, r∈R+ - его радиус.
: Вы сомневаеетесь, что метрическое пространство X может исчерпываться множеством Vr? Напрасно - очень даже может и никаких метапространств для этого не потребуется. Не верите? Спросите у Михалыча. (А.Е.)
Ув. господа, сколько же можно топтаться на одном месте, разговаривая с оппонентом на разных языках и преследуя единственную цель: доказать оппоненту, что именно он дурак, да при этом еще и призывая Михалыча скрепить ваши безнравственные потуги печатью его заслуженного авторитета?
Потому и авторитетен, что в такие игры не играет (хотя и не только поэтому).
И правоты, и неправоты достаточно с обеих сторон. Было бы желание понять друг друга и прежде всего найти общий язык.
Начнем с конца.
Антон, Вы что, действительно, считаете приведенное Вами определение сферы исчерпывающим и однозначным?
Понятие метрического пространтсва не требует определений? Все используемые Вами значки, призванные в целях компактности записей заменить собою слова, точнее выражают смысл сказанного, чем слова, которые заменены этими значками?
Эффективность формализации, в т.ч. и формы изложения мыслей (хоть словами, хоть значками), не в размере записи, а в однозначности ее интерпретации. Однозначность же обеспечивается исходными посылками (определениями, аксиомами, принципами).
Геометрия Евклида тем и была веками привлекательна, что изначально базировалась на простых посылках и строилась от простого к сложному, от понятного и принятого к выводимому.
Не буду углубляться в сопоставление аксиоматик Евклида и Гильберта, это нас далеко уведет, но замечу, что, не разделяю оценок Михалыча в части большого прогресса Г. относительно Е.
В соответствии с предложенной Вами формулой, понятие окружности вообще лишнее. Окружность - это плоская (двумерная) сфера :)
Вместо уточнения понятий, их дифференциации, мы теряем существенные отличия даже у тех объектов, чья специфика хорошо знакома даже школьнику.
Хотя, конечно, своя сермяга есть и в таком обобщении, только, строгости ради я бы оставил название "сфера" за сферой в ее общеупотребительном значении, а ввел бы понятие n-сферы, для того, что преподносите Вы с Зауряд-Майором.
Теперь о кривИзнах и многомерностях.
Представим себе, как это любят делать со времен Клиффордовских червей, некую сферическую поверхность, населенную разумными сферянами, способными не только перемещаться по своей гладкой поверхности, но и измерять, анализировать, думать. Представим также этих сферян очень мелкими по сравнению с радиусом сферы, такими мелкими, что в пределах собственной локализации и доступных средств измерения они не могут преодолеть и измерить расстояния, соизмеримые с радиусом Сферы.
Доступно ли сферянами понятие прямой линии?
Да, конечно! Надеюсь, можно это не пояснять детально?
Доступны ли сферянам понятия "точка", "линия", "однообразие", "разнообразие", "угол", "фигура", в частности "окружность", ...?
Короче, способны ли сферяне построить планиметрию с аксиоматикой Евклида?
Мой ответ: конечно способны!
Если есть возражения, то, плз., предъявите.
Заметьте, что понятия "прямой линии" и "окружности" у них, как и у нас, не будут тождественными, т.е. прямая не будет частным случаем окружности ("окружность самого большого радиуса"). (Тех, кто не отличает прямой от геодезической прошу пока не беспокоиться)
Имея дело с одномерными и двумерными объектами, они (Сферяне) могут прийти и к понятию многомерия, т.е. 3-х, 4-х, и т.д. n-мерных многообразий.
Теперь отойдем немного от чисто пространственных (геометрических) проблем и посмотрим на сферянскую жизнь немного шире.
Представим, что сферяне не беднее нас физическими явлениями. Есть у них возможность двигаться по своей сфере, значит и есть такая мера движения, как темп или время. Обладают сферяне и массой. Сталкиваются, соударяются, разлетаются, деформируются, нагреваются, охлаждаются ... Короче, все, как у людей, но только в двух пространственных измерениях.
Так же, как и земляне, сферяне обнаруживают, что все их эталоны подвержены изменениям под влиянием тех или иных физических воздействий (температура, влажность, электромагнетизм и прочие притяжения-отталкивания, ...).
Ставя опыты с линейками, лучами и прочими средствами геометрических измерений, они отдают себе отчет, что НИКАКИЕ физические измерения не являются абсолютно тождественными математическим построениям. Расхождения эксперимента с ожиданиями (теорией) можно толковать как влияние тех или иных физических воздействий. Если эти влияния устойчиво обнаруживаются независимыми экспериментами, то они пополняют фактографическую сокровищницу. Если существуют только гипотетические объяснения наблюдаемых расхождений с теорией, то остается простор для теоретического произвола (т.е. можно строить разные теории, претендующие на описание данных явлений).
Теперь пойдем дальше. Снимем ограничения пространственно-временных возможностей сферян. Пусть они хотя бы на протяжении многих поколений но смогут распространить свои исследования в объеме всей сферы. Допустим сферяне научились метить не только конкретные точки своей поверхности, но и сколь угодно длинные маршруты. Некоторую точку они приняли за центральную и обозначили ее 0. Из этой точки они направили путепроходцев в различных направлениях, каждое направление промаркировав определенным кодом (числом), и поручив путепроходцам метить свои пути эталонными метками через равные интервалы, маркируя эти реперы как столбики на лесосеках. Надеюсь, не надо уточнять, что каждому поручено идти, никуда не сворачивая ("по прямой"). Каждый из них с честью принял на себя бремя этой миссии, навеки распростившись с родней и друзьями. Понятно, что в какой-то момент каждый из них начнет встречать (пересекать) другие уже нанесенные на местность линии. Можно представить себе их смятение и потоки мыслей, вплоть до фантазий о других мирах и цивилизациях, схожих с их собственным миром. А однажды каждый вернется в исходную точку. Встретятся и поймут, что они вернулись, хотя и шли не сворачивая в сторону. Какой вывод сделают встретившиеся путепроходцы?
Напомню, что, еще находясь в пределах то ли плоскости, то ли почтиплоскости, сферяне пришли к представлениям о многомерии, кривизне и т.п.
В рамках существующих представлений они вполне могли прийти к выводу о том, что их двух-мерие может быть трех-мерной сферой, а то, что они принимали за прямые является всего лишь геодезичискими на этой сфере. Таким образом нет никаких оснований отуплять сферян до категорического недопущения таких откровений с их стороны.
Примерно такова же логика тех, кто наше Евклидово трех-мерное пространство мыслит вложенным в n-мерие более высоких значений.
Каковы бы ни были побудительные мотивы таких расширений, если аккуратно оперировать с терминологией и не использовать общепринятые термины в новых значениях, несовместимых со старым, противоречий возникать не должно.
Возникают же противоречия, недоразумения и споры именно из-за того, что в одни и те же термины вкладываются разные смыслы.
Свое двумерное многообразие сферяне могли назвать поверхностью. Понятие кривизны на первых порах они могли относить только к линиям, т.к. линии искривлять они могут сколько угодно, а вот поверхность им дана одна от Бога и ничего с нею поделать они не могут. Понятие "пространства" или геометрического трехмерия они могут только измыслить, продолжая экстраполировать одномерие-двухмерие-...
Использование термина "пространство" так, как оно используется в настоящее время, является источником недоразумений. Даже тем, хорошо обученным специалистам, кому удается преодолеть обыденное словоупотребление, только кажется, что в их профессиональной среде эта терминологическая проблема снята.
Резюме:
Главная проблема не в количестве измерений и не в Евклидовости-неевклидовости нашей среды обитания, а в умении находить общий, а главное строгий и однозначный язык общения.
P.S. на общем форуме идет довольно интересная дискуссия между Пианистом и Epros`ом «Вопрос пианисту» (epros) При полной непохожести дискуссий ни по стилю общения, ни по многим другим параметрам, имхо, ключевой проблемой и там остается недоговоренность в основаниях.
Пытайтесь понять друг друга, а не опровергнуть, тогда и себе и оппоненту сможете быть полезны.
Извините за назидательность. Это возрастное. Не лечится. :) |
» Альтернативный форум