Читая Адамара, наткнулся на любопытный пассажик. Похоже, изучая в свое время ТФКП, я оставил приличный пробел в знаниях.
Значит, по порядку. В какой-то момент в изложении возникает необходимость продифференцировать по b интеграл:
∫abA(x)/√(b-x)dx.
Если действовать совсем тупо, получается плохо:
-1/2∫abA(x)/√(b-x)3dx+A(x)/√(b-x)|x=b,
что, как легко видеть, есть сумма двух расходящихся пределов. Далее Адамар указывает, что расходящиеся-то они расходящиеся, но синхронно, так что если вначале сложить, а уж потом брать предел, то получится осмысленная величина, которую он именует конечной частью ∫abA(x)/√(b-x)3dx и с которой далее работает. Это понятно. Но вот между делом Адамар замечает, что взять производную по b от ∫abA(x)/√(b-x)dx можно, если перейти на комплексную плоскость. Там приведен рисунок (желающие могут заглянуть в http://hadamard.chat.ru/126-171.djvu, стр. 145), мы проходим от точки a до точки b сначала по оси x сверху, огибаем b, а потом возвращаемся в a снизу. Тогда исходный интеграл есть половина от контурного. Вспомнив оставшееся в голове от изучения ТФКП, я пришел к выводу, что
∫abA(x)/√(b-x)dx = -(1/2)2πi res(b):
минус, потому как если вначале идти сверху, то получится по часовой стрелке, и оба раза получаем тот же (исходный) интеграл; то, что второй раз идем в обратном направлении, компенсируется изменением знака после поворота на 180o.
Однако вопрос: как посчитать вычет? В книге Привалова, которая была под рукой, я не нашел описания действий для подобных случаев (вычет в точке ветвления?).
Кто-нибудь знает, как такое считается?
Вроде тут уже постили задачку с похожей трудностью, но я тогда не обратил на нее особого внимания. |
» Альтернативный форум