Scientific.ru » Альтернативный форум

Time (@) - 09.10.2006 00:02
Ответ на вторую и условия третьей задачи.

В продолжение «Re: Почти ответ на вторую задачу.» (Time)
Пианисту посвящается:), а также вниманию Михалыча, Котофеича, Старка, Давида, Антона, Виктора, Gravi, Munin, Ilya, а также всех тех, кому хотелось бы лучше узнать, что есть время.
Пост получился длинный, но желающим на него ответить или попытать счастья в решении третьей задачи, все же, придется прочитать до конца. В противном случае, нет ни единого шанса разговаривать на одном языке:) Да, попрошу также не обращать внимание на форму преподнесения материала, а то вместо содержательных замечаний, как часто уже бывало, начнется назидательное обучение расстановке запятых..
Прежде всего, хочу остановиться на решении аналогичной задачи в случае двухмерного евклидова пространства. Этот аналог может быть сформулирован так. В четырехмерном евклидовом пространстве с декартовой системой координат x, y, z, w имеется бесконечная по осям z и w и бесконечно тонкая по направлениям x и y пластина, каждая точка которой является источником идеальной жидкости c удельной (приведенной к единице площади) обильностью p. Требуется определить установившееся поле скорости течения в каждой точке с координатами x, y.
Все возмущенные реплики, высказанные при обсуждении задачи номер 2 («Re: Вторая задача.» (Time)) с равным успехом могут быть применены и к этой альтернативной задаче. И про нефизичность бесконечных пластин и про закон сохранения массы и т.д. и т.п. Главным в этой задаче является то, что она прекрасно сводится к ДВУХМЕРНОЙ математической модели: к точечному источнику на комплексной плоскости. Решить же ее можно, воспользовавшись симметриями данного метрического пространства. Опуская несущественные детали, приведу результат в терминах аналитических функций от комплексной переменной. Так называемый комплексный потенциал точечного источника мощностью p (содержащий в себе ПОЛНУЮ информацию о поле скоростей) имеет простой и красивый вид:

F^(z)=p ln^(z),

где символ ^ - означает операцию комплексного сопряжения, F(z) - символ аналитической функции от комплексной переменной z, а ln(z) - представляет собой элементарную функцию логарифм, по определению являющуюся обратной к экспоненциальной функции, по определению связываемую с суммой ряда:

exp(z)=1+1/z+2/z²+:+n!/z^n+:

Одним из важнейших свойств аналитических функций комплексной переменной является то, что они (и комплексно сопряженные к ним) осуществляют ВСЕ КОНФОРМНЫЕ отображения евклидовой плоскости самой в себя, причем так, что сохраняются углы между произвольными кривыми и их образами. То есть, эти функции конформно инвариантны и обладают конформной СИММЕТРИЕЙ!
Из теории аналитических функций известно, что

F(z)=U + i V,
F^(z)=U - i V.

При этом с так называемым КОМПЛЕКСНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ всегда можно связать векторное потенциальное поле v(z) скорости идеальной жидкости, такое что:

v(z)=DF^(z)/Dz.

Ортогональные компоненты касательных векторов этого поля связаны со скалярными функциями U (функция потенциала) и V (функция тока) простыми дифференциальными соотношениями:

vх=dU/dx
vy=dU/dy,

C которыми модуль скорости связан обычным соотношением:

!v!=SQRT(vx²+vy²),

а поскольку функция тока V связана с функцией потенциала U так называемыми условиями Коши-Римана:

dU/dx=dV/dy
dU/dy=-dV/dx,

компоненты скорости, и ее модуль, с равным успехом, могут быть выражены и через нее.
Существование на комплексной плоскости бесконечно разнообразного множества пар скалярных функций U(x,y) и V(x,y) является следствием бесконечнопараметрического множества конформных симметрий на ней, а последние, в свою очередь, являются следствием существования коммутативно-ассоциативной алгебры комплексных чисел, как известно являющихся алгебраическим аналогом геометрии евклидовой плоскости. Эти факты ТЕСНЕЙШИМ ОБРАЗОМ СВЯЗАНЫ. И не будь одного - не было бы и других. Именно это наблюдение некогда заставило меня заинтересоваться вопросом: 'Почему столь же простого и эффективного объекта как комплексный потенциал нельзя построить, например, в трехмерном евклидовом пространстве или в четырехмерном пространстве Минковского?' Что из этого получилось - частично изложено ниже..
Удивительной особенностью евклидовой плоскости является следующее обстоятельство. Мы можем брать ЛЮБУЮ аналитическую функцию от комплексных чисел, сопоставлять сопряженной ей функции комплексный потенциал и при этом быть абсолютно уверенными, что получающееся из этого комплексного потенциала векторное поле ГАРАНТИРОВАННО будет физически интерпретируемым, как поле скорости идеальной жидкости, то есть не противоречить характерным для нее законам сохранения (в данном случае, законам сохранения центра тяжести, энергии и момента количества движения). Это просто физическое отображение математического факта соблюдения аналитическими функциями конформных симметрий, то есть конформной инвариантности. Дополняя этот факт принципом суперпозиции, а также тем, что аналитическая функция от другой аналитической функции является также аналитической - мы можем строить на евклидовой плоскости сколь угодно сложные конформные отображения, причем, картины соответствующих им течений могут быть также чрезвычайно сложными. Отчасти именно это обстоятельство отражают картинки алгебраических фракталов. Посмотрите (http://www.fractals.chat.ru/img/Jz1Big.jpg), ну чем не галактики? Только, к сожалению, статичные и плоские:( Все это элементарные математические и физические истины и, конечно же, их знает каждый математик и практически каждый физик.
Значительно меньшее число физиков, когда ни будь, задумывалось, а почему в трех- или в четырехмерном евклидовом пространстве или в пространстве Минковского нельзя построить содержательную теорию, аналогичную теории комплексного потенциала? Ответ заключается в том, что в этих, казалось бы, самых, что ни на есть, ФИЗИЧЕСКИХ пространствах нельзя бесконечным числом разнообразных способов (как на плоскости) построить семейства скалярных функций U(x,y,z,w)=const1, V(x,y,z,w)=const2, W(x,y,z,w)=const3, Z(x,y,z,w)=const4 - так, что бы соответствующие им гиперповерхности, в КАЖДОЙ точке общего пересечения всех четырех, были бы взаимно ортогональны. А этот факт, в свою очередь, связан с теоремой Лиувиля, согласно которой у многомерных (n>2) квадратичных пространств, группа конформных симметрий - КОНЕЧНОпараметрическая. То есть, взяв четверку взаимноортогональных гиперплоскостей натянутых на тройки ортонормированных векторов декартовой системы координат, мы при помощи конформных преобразований (конформных симметрий) можем только смещать, поворачивать, растягивать и осуществлять инверсии этих семейств. ВСЕ! Эти конформные преобразования четыре взаимноортогональные гиперплоскости в самом общем случае смогут трансформировать, разве что, в четыре взаимноортогональных семейства гиперсфер. Других семейств гиперповерхностей, обладающих этим важнейшим для конформных симметрий качеством в рассматриваемых пространствах НЕТ! Иными словами, и многомерные евклидовы (n>2) и многомерные псевдоевклидовы пространства (включая пространство Минковского, Калуцы-Клейна и пространство суперструн) исключительно БЕДНЫ на симметрии, если только под симметриями понимать не только группы изометрий и шаровых (круговых) преобразований, но и СУЩЕСТВЕННО более интересные конформные симметрии. Любая попытка cтроить на таких 'слабосимметричных' пространствах, сколь ни будь, содержательную ГЕОМЕТРИЗОВАННУЮ физику с ее законами сохранения - заранее обречена, в лучшем случае, лишь на ЧАСТИЧНЫЙ успех. Что мы и наблюдаем на примерах ОТО Эйнштейна и объединенной теории гравитации и электромагнетизма Вейля.
Поймите меня правильно. Я восхищаюсь достижениями и красотой обеих этих теорий. То мастерство, с которым их авторы сумели, грубо говоря, взломать хранилище истины, - заслуживает самых высших степеней похвалы. Но не лучше ли, чем, пускай и элегантно, ломиться сквозь бетонные стены - пройти в открытую дверь? Ведь для этого всего лишь и нужно то - взять в качестве метрического фона (арены) не 'слабосимметричные' многомерные квадратичные пространства, а гарантированно богатые на симметрии. Такие, например, как пространства Н4, С+С, С+Н2 и т.п. Ну сколько можно повторять, что СИММЕТРИИ - важнейшее понятие не только алгебры или геометрии, но и физики? Товарищи физики, неужели профессионалы могут только, соревнуясь в остроумии, двумя руками отмахиваться от того, что, собственно, и составляет самую суть их предмета? Ну чего вы вцепились в сумму (разность) квадратов? Привычно? Переучиваться не хочется? Мозгов не хватает? Трудно ориентироваться на почти незаполненном теоремами математическом пространстве? Так Вы же профессионалы! Заполните этот вакуум формулами, теоремами и леммами. Здесь же куда ни кинь - сплошная целина. Вон, Котофеич недавно написал, что понял. Слава богу! Хоть до одного физика-математика (Михалыч не в счет) на этом форуме дошло. Может, скоро дойдет и до других?:)
Теперь, собственно, о второй задачке. Наплюйте на все, что говорилось о четырехмерии. Задача сугубо ДВУХМЕРНАЯ, только теперь не на евклидовой, а на псевдоевклидовой плоскости. Кто ни будь, сомневается, что такая плоскость ФИЗИЧНА? Надеюсь, что нет, иначе все двухмерные иллюстрации СТО - можно смело выбросить на помойку. Но тогда, может, стОит задаться вопросом, а что на этом пространстве с симметриями? С изометриями - все в порядке. Они составляют группу трансляций и поворотов. Эдакий микроаналог группы Пуанкаре. И с круговыми преобразованиями (аналог конформной группы пространства Минковского) связанными с растяжениями и инверсиями относительно единичной сферы так же все в порядке. А вот как с остальными конформными преобразованиями? Их ведь существенно (ровно в бесконечное число раз) больше, чем изометрических и круговых!
А давайте просто по аналогии с сопряженными аналитическим функциям от комплексной переменной рассмотрим некий гиперболически комплексный потенциал (любителям возмущаться, что это "давайте" свалилось чуть ли не с неба, сразу парирую, конформные симметрии с неба не падают и данное предложение абсолютно закономерно, иначе, кстати, ни чего бы путного и не получилось бы), связанный с функцией от чисел, являющихся алгебраическим аналогом псевдоевклидовой плоскости, практически так же, как комплексные являются аналогом евклидовой плоскости. Эти числа давно известны (желающие могут глянуть математическую энциклопедию), они называются двойными числами (мы их обозначаем как Н2) и определяются тем, что в алгебраической форме имеют вид:

h=t + j x,

где мнимая единица j является гиперболической, т.е. j²=+1.
Модуль таких чисел связан с формой:

!h!=SQRT(t²-x²),

что, собственно, и говорит об их тесной связи с псевдоевклидовой плоскостью,
а аргумент:

arg(h)=a=arth(x/t).

Эти две формулы позволяют, кроме алгебраической, рассматривать еще и экспоненциальную форму представления двойного числа (правда, однозначно это можно сделать только для чисел, соответствующих точкам внутри светового конуса; данное обстоятельство, кстати, имеет свой глубокий философский, математический и физический смысл):

h=t + j x=!h! exp(j a),

где экспоненциальная функция определяется как сумма ряда:

exp(h)=1+1/h+2?h²+:+n!/h^n+:

Определив по аналогии с комплексными числами ей обратную функцию по имени логарифм, но уже от двойных чисел, будем иметь:

F(h)=m ln(h)=m ln!h! + j m arg(h)=m ln(SQRT(t² - x²)) + j m arth(x/t).

Рассмотрим функцию ей сопряженную :

F^(h)=m ln^(h)= U(t,x) - j V(t,x)=m SQRT(t² - x²) - j m arth(x/t),

которую можем считать гиперкомплексным потенциалом некоего предположительно физического поля точечного источника мощностью m. (Почему оно должно оказаться именно физическим и что это за поле станет ясно несколько позже.)
На верхнем рис. 1 а), б) (http://www.polynumbers.ru/section.php?lang=ru&...) я, как мог, постарался изобразить в аффинных координатах отображения, связанные с логарифмическими функциями от комплексных и двойных чисел. Совершенно очевидно, что это РОДСТВЕННЫЕ отображения, с точностью до конкретной метрики. И раз есть физическая интерпретация у первого, то ОБЯЗАТЕЛЬНО ДОЛЖНА БЫТЬ и у второго. Почему эта простая мысль никак не может дойти, например, до пианиста - я совершенно не понимаю:((( Может мне кто-то это доходчиво объяснит?! Ведь одно из двух: либо я туп, как сибирский валенок, и нужно срочно линять обратно в бизнес, либо, что-то не так с 'понималкой', в общем-то, таких неплохих специалистов по физике, как пианист и Ko. Люди! Ау!! Объясните, пожалуйста!!!
Но, пойдем дальше.. Рассмотрим поле вектора v(h) определяемое уравнением:

v(h)=DF^(h)/Dh

с компонентами (vt,vx) связанными с компонентами гиперкомплексного потенциала F^(h) - U(t,x) и V(t,x) формулами:

vt=dU/dt
vx=-dU/dx,

где справедливы условия являющиеся аналогами условий Коши-Римана:

dU/dt=dV/dx
dU/dx=dV/dt.

Применительно для конкретной функции логарифма имеем:

vt=m t/(t²-x²)
vx=m x/(t²-x²)

Отсюда кстати следует:

!v!=m SQRT((t²-x²)/(t²-x²)²)=m/S,

где S - интервал до "центра источника" на псевдоевклидовой плоскости. Кстати, и здесь проявилось сходство с полем скоростей идеальной жидкости для точечного источника на комплексной плоскости!

Для наглядности на верхнем рис. 1 (http://www.polynumbers.ru/section.php?lang=ru&...) я привел линии равных потенциалов (красный цвет) и линии равных значений функции тока (черный цвет) для логарифмических комплексных потенциалов на евклидовой (а) и псевдоевклидовой (б) плоскостях. А также синими стрелками некоторые вектора с компонентами (vx,vy) и (vt,vx). С первым полем все ясно - это поле скорости течения точечного источника идеальной несжимаемой жидкости. А вот что за поле мы получили во втором случае? Давайте, просто пробы ради, предположим, что это поле СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ ВРЕМЕНИ. Или, если угодно поле двухскорости (аналог четырехскорости в пространстве Минковского), с той разницей, что в рассматриваем случае в отличие от двухмерной СТО, квадрат модуля двухскорости (скорости времени) не равен единице, а имеет в каждой точке величину:

!v!= SQRT(vt²-vx²).

Таким образом, аналогом идеальной жидкости в двухмерном евклидовом пространстве в случае двухмерного пространства-времени является ВРЕМЯ, которое, как известно также может течь:) Собственно говоря, это и есть тот пресловутый 'эфир', о котором так любят рассуждать многие участники этого форума. И, кстати, именно поэтому его никак не могут зарегистрировать. Попробуйте зарегистрировать неким инструментом сам этот инструмент:) Ведь если верить классикам теории относительности (да и просто здравому смыслу) единственное, что умеют мерить физики - это временные интервалы (измерение длин, масс, температур и токов, в конце концов, ВСЕГДА сводится к измерению секунд).
На нижнем рис. 2 (http://www.polynumbers.ru/section.php?lang=ru&...) я постарался проиллюстрировать, как будет выглядеть 'Мир', связанный с логарифмическим комплексным потенциалом глазами 'живущего' в нем наблюдателя. Мы вольны выбирать ЛЮБЫЕ точки внутри конуса будущего. Интервал между нулем (точкой источника) и мгновенным положением наблюдателя Ti можно тогда трактовать как время, прошедшее с момента 'Большого взрыва'. Опуская по образующим конуса прошлого (ведь именно так должны идти из прошлого световые лучи) перпендикуляры на образующие светового конуса идущего от точки (0,0) мы получаем точки Аi и Bi, являющиеся самыми дальними видимыми точками одномерной 'Вселенной' нашего гипотетического наблюдателя. Интересно, что 'диаметр Di таких одномерных 'Вселенных' всегда равен времени прошедшему от 'Большого взрыва' до акта наблюдения Ti. Кроме того, не сложно заметить, что для любого из наблюдателей, его 'Вселенная' всегда расширяется, причем границы удаляются от него с предельно возможной скоростью 'с', а более близкие точки удаляются по линейному закону (как там звучит закон Хаббла?). Характерная эпюра скоростей 'разбегания' точек одномерной "Вселенной" приведена в левом верхнем углу. В правом верхнем углу я привел в увеличенном масштабе область пространства-времени, непосредственно примыкающую к наблюдателю. Не трудно заметить, что если характерные размеры этой области малы по сравнению с Тi или Di - изменчивостью поля течения времени можно пренебречь, а это значит, что здесь пригодно приближение СТО.
Пожалуй, что, чуть ли, не самым удивительным сюрпризом, преподнесенным использованным нами принципом симметрии, оказался факт возможности описать, по сути, чисто гравитационный эффект 'Большого взрыва' в ПЛОСКОМ пространстве-времени. То есть, мы получили эффекты, обычно связывавшиеся с кривизной, БЕЗ всякой кривизны! (Котофеич - помните, что получилось в четырехмерном Бервальде-Мооре?) На всякий случай, напомню уважаемым физикам, что современные космологические данные по измерению кривизны нашей реальной Вселенной, также, скорее, говорят в пользу ее НУЛЕВОЙ величины. Добавьте сюда 'до кучи' многогранную анизотропию реликтового фона и 'странное поведение' квазаров - по-моему, как минимум, есть повод задуматься:) Ну а уж если совсем разгуляться фантазии, вспомните, сколько лет назад образовалась по предположениям космологов наша Земля? Порядка четырех миллиардов? А ведь это, как раз та область, интервал до которой соизмерим с возрастом Вселенной и 'здесь' должны проявляться типично финслеровские анизотропные штучки. Кто как думает, с каким многогранником связана геологическая анизотропия тектонических разломов Земной коры, история происхождения которых, наверняка уходит в глубь на весьма приличные временные интервалы? Я так слышал, что с ДВЕНАДЦАТИГРАННИКОМ:) А динозавры с их не реально крупными для современной силы тяжести размерами? А сами размеры Земли в прошлом, легко восстанавливаемые по очертаниям континентальных шельфов и дающие радиус почти в ДВА РАЗА МЕНЬШИЙ, ЧЕМ СОВРЕМЕННЫЙ? И т.д. и т.п. Все бред? Возможно, а может и нет:)
Интересно, сейчас хоть немного стало лучше с пониманием со стороны уважаемых оппонентов, чем мои представления, вытекающие из главенства СИММЕТРИЙ, отличаются от классических постулатов СТО, ОТО и ЭД? Там скорость течения времени (или временной масштаб в каждой точке полагался постоянным и равным единице), а у меня он совершенно естественным образом получился ПЕРЕМЕННЫМ. Более того, иным он и не может быть, за исключением тривиального случая гиперкомплексного потенциала связанного с простейшей аналитической функцией:

F^(h)=h^=t - j x = U - j V.

Для него:

vt=dU/dt=1
vx=-dU/dx=0

и

!v!=1.

Выходит это и есть комплексный потенциал плоскопараллельного и равномерного потока времени. Только в этом единственном случае время идет в каждой точке двухмерного пространства-времени с одинаковой по модулю скоростью. В любом другом случае оно принципиально не может обладать этим свойством (если, правда, мы понятие СИММЕТРИИ ставим выше желания искусственно упростить физическую картину). Таким образом, можно предположить, что и СТО, и ОТО и классическая электродинамика, да и вообще, похоже, почти вся современная физика, не учитывали, да и не могли учесть этого обстоятельства. Именно поэтому, полагаю, у нас и не получалось решить первую задачу, связанную с мгновенным исчезновением заряда, ведь уравнения Максвелла по самому духу своего построения основываются на убеждении, что время всегда и везде (если нет переходов к различным системам отсчета или гравитации, обусловленной кривизной) течет одинаково. Таким образом, разрешите выдвинуть гипотезу, что если мы при выводе законов электродинамики постараемся учесть зависимость хода времени от точки к точке даже в "плоском" пространстве, а также заменим привычную метрику Минковского на метрику четырехмерного Бервальда-Моора, вот тогда и получим то, что будет иметь полное право именоваться обобщенными уравнениями электродинамики (это для Вас, пианист;)), а классические уравнения будут получаться из них, когда изменчивостью поля времени, исходя из конкретных условий задачи, можно будет пренебрегать. Тоже самое, похоже, касается и ОТО. Однако, если области, на которых решается физическая задача соизмерима с характерным масштабом (временем жизни Вселенной) эти приближения уже не могут рассматриваться как удовлетворительные и должны быть отброшены. Именно это я и пытался так долго и путано объяснить пианисту и всем, кто меня здесь слушал. Прошу прощения за косноязычие и сложности с адекватностью передачи идей, но, надеюсь, Вы понимаете, что участвовали не в процедуре озвучивания готовых решений, а в их поиске. Собственно, более-менее ясно, с чем мы, оказывается, имеем дело, когда рассматриваем не привычные псевдоевклидовы и псевдоримановы пространства, а более интересно устроенные, типа Бервальда-Моора, - лично мне стало лишь совсем недавно, а по некоторым моментам понимание вообще пришло лишь пару дней назад:)
Теперь, надеюсь, читающим эти строки стало также хоть немного понятнее, что за поле, по сути, ввел в геометрию Вейль, когда помимо двухиндексного тензора gij стал рассматривать еще и векторное поле gi, которое попытался трактовать как векторный потенциал электромагнитного поля. Его конструкция была просто обречена на относительный провал тем, что сосредотачивалась на четырехмерном квадратичном пространстве (вспомните отсутствие симметрий!). Если бы он попробовал тоже самое в простейшем двухмерном случае, уверен, уже сейчас мы бы с Вами учили совсем другую теорию поля:) Дело в том, что следующий шаг практически напрашивается - для четырехмерного случая надо ОТБРОСИТЬ квадратичную метрическую функцию и взять соответствующую по отношению к СИММЕТРИЯМ - функцию четвертого же порядка. Я полагаю, что все это Вейль, все же, ЧУВСТВОВАЛ (что бы не говорил пианист о чувствах и интуиции - они есть;)) - так как за год до смерти на одном из своих важных докладов неожиданно обмолвился: 'Я вынужден признать, что НЕ УВЕРЕН в правильности своего предположения о пифагорейской (т.е. квадратичной) природе метрики.'
Теперь, надеюсь, становятся более понятно и мое стремление в более высоких размерностях, в частности, для трех и четырех - рассматривать, соответственно кубические и биквадратичные метрики. В этих случаях, если метрические функции будут строиться 'правильно', то есть, не выбрасывая симметрии низших по размерности пространств, а в полном объеме наследуя их, мы можем рассчитывать на интенсивное наращивание все новых и новых классов симметрий. Помните про обобщения понятий длины и угла - тринглы и квадрауглы? Это не просто символы, за ними стоят инварианты и СИММЕТРИИ. Поняв, что из себя представляют эти симметрии и научившись с ними работать мы, полагаю, узнаем много интересного и неожиданного, причем не только об относительно простых гравитационных и электромагнитных полях, но и о квантовых полях, и не через аксиомы квантовой механики, а через самую обычную ГЕОМЕТРИЮ, вернее сказать, - через ХРОНОМЕТРИЮ МНОГОМЕРНОГО ВРЕМЕНИ.
Ну а теперь, наконец, - третья задача. Итак: требуется построить внутри двухмерного конуса будущего на плоскости Вейля (пожалуй, так будет правильно называть двухмерное псевдоевклидово пространство с конформными симметриями) объединенное 'гравитационное' и 'электрическое' поле точечного источника расположенного в событии (0,0) и имеющего в этой точке 'массу' m и 'заряд' q. В качестве намека, как подойти к решению этой задачи помимо всего, что было сказано выше, обратите внимание, что кроме СИММЕТРИЧЕСКОЙ полилинейной формы (откуда, собственно, и берется фундаментальный метрический тензор плоскости Вейля или 'гравитационная' составляющая объединенного поля), существуют и КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ полилинейные формы, с которыми можно не менее естественным образом связать тензор 'электро(магнитной)' составляющей. Не забудьте, что речь идет всего лишь о ДВУХМЕРНОЙ задаче, именно поэтому я предпочел термины 'гравитационный' и 'электрический' взять в кавычки. В трех, а тем более в четырех измерениях - элементарных по внутренним симметриям полилинейных форм (или, что тоже самое - фундаментальных тензоров) будет несколько больше, а, следовательно, будет и больше связанных с ним фундаментальных полей: Но это уже совсем другая история:)

[прямые ответы (5)]