МНОГООБРАЗИЕ - геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства R" или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений понятия линии и поверхности. Введение этого понятия вызвано разнообразными потребностями как самой математики, так и др. наук. В математике М. возникают прежде всего как совокупности решений невырожденных систем уравнений, а также как различные совокупности геометрических и др. объектов, допускающих введение локальной параметризации (см. ниже), напр., совокупность плоскостей размерности к в R". Они появляются также как решение многомерных вариационных задач (мыльные пленки), как интегральные многообразия пфаффовых систем и динамических систем, как группы геометрических преобразований и их однородные пространства и др. В физике они играют роль моделей пространства-времени, в механике служат фазовыми пространствами, уровнями энергии и проч., в экономике поверхностями безразличия, в психологии пространством ощущений (напр., цветов) и т. д.
Хотя исходная идея, кладущаяся в основу определения М., относится к их локальному строению ('такому же, как у R"'), эта идея позволяет выделить целый ряд характерных именно для М. глобальных черт: (не) ориентируемость, гомологическая Пуанкаре двойственность, возможность определения степени отображения одного М. на другое той же размерности п проч. Особое значение имеет введение касательного расслоения и связанных с ним инвариантов.
Локальное строение М. позволяет также привлечь к их изучению геометрическую технику: приведение в общее положение, построение Морса функций и проч., к-рая служит для геометрического изучения глобального строения М., оно, грубо говоря, заключается в представлении возможно более простым образом М. в виде объединения простых кусков, симплексов или ручек.
При использовании понятия М. также обычно совершается переход от локального к глобальному. Первым шагом является введение параметризац и и, т. е. представление 'пространства состояний' данной задачи областью числового пространства. Это дает возможность описать каждое состояние набором чисел - координатами соответствующей точки (координатный метод). В целом пространство состояний может не допускать подобного описания, т. е. может не иметь гомеоморфизма на область в R". Если не прибегать к параметризации с вырождениями (как в полярных координатах и их обобщениях), то возможны два пути: либо введение сначала большего, чем необходимо, числа параметров, и выделение истинного пространства неявно системой уравнений ('уравнения состояния'), либо пространство параметризуется по частям локально, 'в малом'. Например, множество прямых на плоскости покрыто двумя подмножествами: П1, состоящее из прямых с уравнениями вида у=кх+b, и П2, состоящее из прямых с уравнениями вида х=ку+b\ оба они гомеоморфны R2 с параметризацией парами (к, b) и (к, b) соответственно. Однако в целом это множество гомеоморфно открытому листу Мебиуса.
Когда М. естественно появляются в той или иной области, они обязательно несут какую-либо дополнительную структуру, к-рая и служит предметом изучения в этой области. Однако важную роль играет и топологич. строение, к-рое ограничивает априорные возможности. Наоборот, в топологии локальные и глобальные свойства М. изучают, привлекая дополнительные структуры (напр., гладкую) в качестве инструментов. Фундаментом общего понятия М. является определение топологического многообразия как топологич. пространства, в к-ром каждая точка имеет окрестность i и гомеоморфизм ф: J ->- U на область в R" или в полупространстве R"={x?R", xn0}; гомеоморфизм Ф наз. локальной параметризацией или картой, в ЭЕ- Размерность re=dim M является инвариантом связного М. Для несвязного М. обычно берут компоненты одной размерности. М. распадается на внутренность Int M и край дМ: точки края отвечают в своих картах точкам границы R" в RT. Край является {п-1)-мсрным М. без края и может быть пустым. Связное М. без края наз. открытым, если оно некомпактно, и замкнутым, если оно компактно. Простейшими примерами четырех возможных типов М. служат R", R+, шар В" и его граничная сфера 5"-1. Хотя нехаусдорфовы М. встречаются в некоторых ситуациях (напр., пространства пучков), обычно принимают, что М. хаусдорфово, паракомпактно, имеет счетную базу, в частности, метризуемо.
Глобальное задание М. осуществляется а т л ас о м - набором карт, покрывающих М. Для использования М. в математич. анализе нужно, чтобы пересчет координат от одной карты к другой был дифференцируемым. Поэтому чаще всего рассматривают дифференцируемые многообразия. Более общим образом вводится понятие Г-строения на М., задаваемого атласами {ф/ : S'I'->■ Ui), в к-рых координатные переходы h,-j= = Ф/фГ между картами являются гомеоморфизмами, входящими в систему Г-отображений областей в R", замкнутую относительно композиций. Если Г состоит из непрерывно дифференцируемых г раз отображений, то говорят, что класс гладкости М. есть С. Аналогично определяются аналитические многообразия, кусочно линейные, липшицевы и др. типы М. Два Г-атпаса задают одно Г-с троение, если их объединение есть Г-атлас. Классификация Г-строеннй является важнейшей проблемой геометрии М. Отображение / : М ->■ JV одного Г-многообразия в другое наз. Г-о т о б р а ж ен и е м, если локально оно имеет 'координатное представление' /,;= фу/ф?1, где фу, Ф,- - карты в М и .V, a /,у£Г. В частности, имеется понятие Г-г о м е ом о р ф и з м а (С-д и ф ф е о м о р ф и з м а в случае Т=СП.
Поскольку в математич. анализе М. важны как носители дифференцируемых отображений, их иногда определяют (см. [12]) через запас гладких функций, определенных в окрестностях точек (см. Росток). Развитие этой идеи привело к понятию предмногообразия, или окольцованного пространства (пучка колец), и далее к понятию схемы. Заменяя R" на другие векторные и иные пространства, приходят к различным обобщениям понятия М., таким, как напр. комплексно-аналитические М. Бесконечномерные М. возникают в математич. анализе и топологии как пространства отображений и сечений расслоений, как пространства гомеоморфизмов, замкнутых подмножеств и пр. Их локальными моделями служат векторные пространства (банаховы и иные) и такие пространства, как гильбертов кирпич. Понятие гладких и иных строений на бесконечномерных М. изучено недостаточно. Трудности здесь возникают из-за отсутствия технических теорем типа аппроксимаций, существования разбиения единицы (мал запас гладких функций), теоремы о неявной функции и т. п.
М. возникают как подмножества R" при неявном задании их в виде множеств решений систем уравнений (и неравенств в случае непустого края). Этим М. задается сразу, а не по частям, как в случае задания атласом. Однако необходимы условия невырожденности, иначе всякое замкнутое множество можно задать одним уравнением. Существование локальной параметризации обеспечивается по теореме о неявной функции условием максимальности ранга Якоби матрица данной системы. Уравнения служат языком для выражения средствами математич, анализа свойств М., служащих для определения М. Напр., свойство ортогональности (геХ и)-матрнцы записывается системой из --г}--уравнений относительно элементов матрицы. Система оказывается невырожденной, а группа ортогональных матриц гладким подмногообразием в R"2.
В механич. системе с уже введенными координатами меньшие системы выделяются уравнениями или неравенствами, выражающими ограничения или 'связи'. Если условие невырожденности системы F;=0 выполнено во всех точках М., то градиенты функций F; образуют оснащение (i-penep, ортогональный к касательной плоскости в точке М. и непрерывно зависящий от этой точки). М., допускающие оснащение, образуют довольно узкий класс стабильно п ар а л л е л и з у е м ы х М. (напр., они имеют ориентацию). Но локально любое дифференцируемое М. в R" может быть задано невырожденной системой, а с помощью разбиения единицы можно построить и систему постоянного (а не максимального) ранга, задающую М.
Для М., заданного атласом, возникает задача реализации его как подмногообразия в R" с учетом того или иного Г-строения. Любое топологическое, гладкое пли кусочно линейное М. М вкладывается, т, е. Г-гомеоморфно подмногообразию, в R2", а в R'2" + x множество вложений плотно в пространстве всех непрерывных отображений. Для других классов вопрос существенно сложнее. Интенсивно он изучается, напр., для римановых многообразий. Алгебраические многообразия, реализующиеся в комплексном проективном пространстве (заменяющем здесь R"), составляют очень специальный класс Ходжа многообразий. Если допускать вырожденность системы уравнений, то возникают М. с о с о б е н н о с т я м и. В алгебраич. геометрии обе идеи комбинируют: алгебраическое пространство определяется склейкой частей, к-рые локально задаются полиномиальными системами с вырождениями. В теории кобордизмов в топологии под названием М. с особенностями рассматривают пространства, устроенные локально как произведения конусов над М. Дальнейшие обобщения связаны с рассмотрением непрерывных семейств М. (см. Расслоенное пространство, Слоение, Стратификация).
Изучение М. чисто топологическими методами чрезвычайно сложно и до последнего времени оно ограничивалось локальными свойствами М., т. е. в сущности свойствами R" (непрерывное разбиение, дикое вложение и пр.). Глобальное изучение М. и по необходимости требует привлечения или гомологических и других средств алгебраической топологии, пли гладких, кусочно линейных и иных строений. Основное гомологическое свойство М.- Пуанкаре двойственность, сохраняющаяся и для гомологических многообразий и служащая для таких обобщений понятия М. как Пуанкаре комплексы. Гомологическую природу имеет и степень отображения, фундаментальное понятие, определяемое также для псевдомногообразий - пространств (обычно, комплексов), обладающих открытыми связными плотными подмножествами, являющимися М.
Геометрическое изучение М., основанное на использовании различных строений, исходит прежде всего из локальной эквивалентности М. с R" и из возможности благодаря этому аппроксимации отображений гладкими или кусочно линейными, приведения их в общее положение и пр. Начальной задачей здесь является представление М. в виде пространства, склеенного из простых кусков. Первоначальной идеей было понятие триангуляции М., развившееся в широкое понятие комплекса. Трудные проблемы триангулируемости и эквивалентности триангуляции были прояснены в 60- 70-х гг. 20 в. (см. Топология многообразий). Более гибким инструментом оказалось разбиение М. на ручки, эквивалентное рассмотрению функций Морса. С помощью техники постепенного упрощения такого разбиения были доказаны важные теоремы (об /г-кобрдизме, обобщенная Пуанкаре гипотеза и др.). Эта техника послужила также геометрич. основой для теорем классификации гладких и кусочно линейных строений на заданном гомотопич. типе М. Эти теоремы потребовали, однако, привлечения тонких инвариантов, связанных с касательным расслоением М. (см. ниже)-. Большое значение имело также открытие новых гомологпч. теорий: К-теории и особенно теорий кобордизмов. Два М. кобордантны, если они вместе ограничивают третье М. При этом учитывается тот или иной тип строения. Это отношение эквивалентности легло в основу первоначального определения гомологии, когда циклы рассматривались наивно как кусочно гладкие М. В теории кобордизмов эта идея восстанавливается, но подмногообразия заменяются отображениями М. Особую роль в вопросах классификации строений на М. играет фундаментальная группа, благодаря к-рой устанавливается связь этих вопросов с алгебраической К-теорией.
Важнейший инвариант гладкого М. М - его касательное расслоение хМ. Предметом анализа на М. служит изучение сечений хМ и различных ассоциированных с ним расслоений. С топологической точки зрения хМ характеризуется существованием экспоненциального отображения ехр : хМ -> М, диффеоморфно отображающего малые шары в слоях ххМ на окрестности соответствующих точек х£М. Его можно описать как проекцию трубчатой окрестности диагонали в MY M на сомножитель. В такой форме определение хМ переносится на топологический, кусочно линейный и др. случаи (см. Микрорасслоение).
Различные редукции структурной группы касательного расслоения наз. структурами на М. Если можно подобрать атлас такой, что матрицы Якоби его координатных переходов принадлежат уменьшенной структурной группе и определяют тем самым эту редукцию, то такая структура наз. и н т е г р и р у ем о й. Вопросы классификации структур и их интегрируемости относятся к основным вопросам дифференциальной геометрии многообразий. В топологии М. вопрос о классификации гладких, кусочно линейных и иных строений сводится в основном к классификации соответствующих структур на касательном расслоении и приводится тем самым к гомотопич. задачам.
Важная роль касательного расслоения состоит в том, что с ним инвариантно связываются когомологич. классы (см. Характеристический класс) в той или иной гомологической теории, несущие в себе наиболее существенную информацию о глобальном строении М. и связывающие свойства различных строений и структур на М. с его топологическими свойствами.
Исследование топологии М. в этом направлении до 70-х гг. было по-существу использованием гладких и кусочно линейных строений на М. (точнее, на гомотопическом типе М.). Переход к чисто топологическим результатам стал возможным лишь после доказательства трудных и глубоких теорем, начиная с доказательства топологической инвариантности характеристических (рациональных) классов (см. Топология многообразий), В конце 70-х г. с этим направлением слилось и упомянутое выше направление чисто топологического изучения М. Ярким примером служит доказательство гипотезы о том, что двойная надстройка над гомологической трехмерной сферой есть многообразие (сфера). Это позволило дать топологическую характеризацню М. (известную до этих пор лишь для одномерных многообразий и двумерных многообразий), прояснить вопрос о том, какие полиэдры являются М. (препятствием здесь служит лишь недоказанная пока (1982) Пуанкаре гипотеза в размерностях 3 и 4) и др., см. Топология многообразий и [19].
Исторический очерк. Начальный период изучения М. связан с анализом нонятпя многомерной параметризации, с исследованиями по геометрии физич. мира (земной поверхности) и но геометрия, аксиоматике. Два способа задания М. в R" (локальная параметризация и уравнения) были рассмотрены впервые К. Гауссом (К. Gauss, см. [1] с. 127) для случая поверхностей в R3, а в многомерном случае А. Пуанкаре (Н. Poincaie, см. [3], с. 459). Ю. Плюккер [5] изучал локальные координаты в М., составленных из кривых, поверхностей и т. и. Г. Грассман пришел в [6] к общей идее 'многомерной протяженности', к-рая была под названием 'многообразие' введена в математику Б. Риманом (В. Riemann) в его знаменитой лекции 'О гипотезах, лежащих в основании геометрии' (см. [1| с. 30). Свойства различных специальных координат изучались К. Якоби (С. Jacobi), Г. Ламе (G. Lame) и др. (см. [8]).
К. Гаусс (см. [1] с. 123) начал в связи со своими работами по геодезии систематич. изучение поверхностей, введя понятие внутренней геометрии и тем самым о М., не зависящем от объемлющего числового пространства, и фактически понятие структуры на М. Его идеи были вполне поняты лишь в теории характеристич. классов, построенной в середине 20 в. В. Риман перенес идеи К. Гаусса на многомерные М. На основе рнмановой геометрии был создан трудами Риччи, Леви-Чпвита, Кристоффеля и др. тензорный анализ, дальнейшее развитие к-рого шло в тесной связи с теорией относительности. Другая геометрическая линия развития понятия М. берет начало в открытии возможности неевклидовых геометрий и в построении геометрии на основе понятия движения (Г. Гельмгольц, Н. Helmholtz, см. [1] с. 366). Эта идея была превращена в широкую программу теоретико-группового построения геометрии Ф. Клейном (К. Klein, см. [1] с. 399 и [8]) и привела к глубоким работам С. Ли (S. Lie) по теории непрерывных групп. Линия Гельмгольца - Клейна - Ли долгое время оставалась в стороне от линии Гаусса - Римана - Риччи, заимствовав у нее понятие кривизны, но интересуясь лишь Клейна пространствами. Однако здесь были поставлены важные вопросы о глобальном строении групп Ли и их однородных пространств и тем самым привлечено внимание к глобальному строению М. Важным фактом было произведшее глубокое впечатление открытие Клейном эллиптической геометрии, локально эквивалентной сферической, но глобально имеющей существенно иные свойства, а также открытие Мебиусом и Клейном явления неориентируемости.
Синтез обоих направлений произошел в работах Э. Картана (Е. Cartan, см. [1] с. 483). Отправляясь от исследований Г. Дарбу (G. Darboux) по теории поверхностей, он рассмотрел подвижного репера метод для произвольного М. в RT и пришел к теории уравнений структуры - далекого обобщения теории Дарбу, включившего в себя теорию С. Ли. В картановском понятии G-структуры соединились идеи римановой геометрии и теории действия групп Ли. По существу Э. Картан ввел понятие касательного расслоения и его структурной группы, окончательно оформленного лишь в 40-х гг. 20 в. (см. [13]). Это понятие позволило июне объединить математич. анализ на М. с топологич. изучением М. Основой послужил изоморфизм де Рама (см. Рама теорема) - окончательное оформление принадлежащей Пуанкаре идеи (см. [3] с. 472) о связи между вещественными когомологиями и дифференциальными формами. Важнейшим следующим шагом было введение характеристических классов и их выражение как интегралов от форм, выражающихся через форму кривизны (примером здесь служит выражение эйлеровой характеристики в теореме Гаусса - Бонне в форме Дика, см. [14] с. 186).
Топологическое изучение М. началось с открытия римановых поверхностей в связи с представлением комплексно аналитических функций интегралами как попытка избавиться от многозначности этих функций. 'Периоды' интегралов привели к понятию чисел связности и в конечном счете к гомологиям. Мысль о многомерном обобщении этого понятия и идея о глобальном гомологическом изучении М. принадлежит Риману (см. [2j с. 294). Это изучение было начато А. Пуанкаре, сделавшим ряд важных открытий и доказавшим Пуанкаре двойственность. Стимулирующую роль имело последовавшее за открытием Римана изучение двумерных многообразий (в первую очередь Мебиусом и К. Жорданом, см. [14] с. 244), приведшее к полной их классификации. Окончательно это оказалось возможным проделать лишь после прояснения понятия 'чистого' гомеоморфизма (А. Пуанкаре, например, пользовался в сущности кусочно гладкими гомеоморфизмами). Это прояснение явилось одним из итогов анализа непрерывности числового континуума, предпринятого в конце 19 в. Наибольшее значение имели в этом направлении постановка 5-й проблемы Гильберта и работы Л. Брауэра (L. Brouwer, [9]), доказавшего теоремы (инвариантность области, инвариантность размерности), к-рые позволили Г. Вейлю [4] сформулировать приятие топологич. М. Однако в высших размерностях топологическое изучение М. долгое время велось в рамках гладких и кусочно линейных строений. Гладкие строения, введенные в книге [20], были проанализированы в основном X. Уитни [21], а также Г. Уайтхедом и др. Кусочно линейные структуры были введены Л. Брауэром и проанализированы Дж. Александером [22] и также М. Ньюменом (М. Newman) и Г. Уайтхедом. Долгое время они рассматривались лишь как вспомогательное средство топологического изучения М. Лишь в конце 50-х гг. была открыта неединственность гладких строений уже на сферах и в конце 60-х гг. возможность неединственности кусочно линейных строений (например, на торах). После 50-х гг. 20 в. изучение М. проходило под знаком объединения идей топологии и анализа, основанного в первую очередь на понятии характеристич. классов (см. [17]).
Лит.: [1] Обоснованиях геометрии, М., 1956; [2] Р и м а н Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948; [3] Пуанкаре А., Избр. тр., пер. с франц. т. 2, М., 1972; [4] Weyl H., Die Idee der Riemannschen Flache, 3 Aufl., Stuttg., 1955; [5] P 1 u e с k e r J., Neue Geometrie des Raumer . . ., Abt. 1-2, Lpz., 1868-69; [6] Grassmann H., Die Ausdehnungslehre von 1844, Lpz., 1894; [7] Kronecker L., 'ittonatsber. Preuss. Akad. Wiss.', 1869, S. 159-226; [8] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939; [9] В г о u w е г L. E. J 'Math. Ann.', 1911, Bd 70, S. 161 - 65; 1911, Bd 71, S. 97 - 115; 1912, Bd 72, S. 55-6; [10] Weyl H., Mathematische Analyse des Raumproblems, В., 1923; [111 Стинрод Н. Е., Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953; [12] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948; [13]Лихнеров и ч А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960: [14] X и р ш М., Дифференциальная топология, пер. с англ., М.,. 1979: [15] М а н к р с Д ж., в кн.: М и л -нор Д ж., С та шеф Д ж., Характеристические классы, пер. с англ., М.. 1979, с. 270-358; [16] Ni] ennuis A., Theory of the Reometric object, Amst., 1952; [17] Хирцеб-p у x Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973; [18] СУлливан Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975; [19] Cannon J. W., 'Bull. Amer. Math. Soc', 1978, v. 84, Xt 5, p. 832-66; [20] В е б л е н О., УайтхедДж., Основания диференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1940- [21] Whitney H., 'Ann. Math.', 1936, v. 37, p. 645-80; [22] Alexander J. W., 'Trans. Amer., Math. Sou.', 1926, v. 28, p. 301-29.
См. также лит. при статьях Дифференциальная геометрия многообразий, Дифференциальная топология, Дифференцируемое многообразие. А. В. Чернявский. |
» Альтернативный форум