Предлагаю вашему вниманию шесть эквивалентных вариантов записи преобразований координат в СТО
http://darkenergy.narod.ru/srru9.html
Наиболее известными преобразованиями координат x и t являются преобразования, записанные через координатную скорость:
(1)
x' = (x - vt) / sqr(1 - v2/c2);
t' = (t - vx/c2) / sqr(1 - v2/c2).
Учитывая, что sqr(1 + b2/c2) = 1/sqr(1 - v2/c2) = gamma, и b = v*gamma, получим преобразования, записанные через собственную скорость: http://darkenergy.narod.ru/srru2.html
(2)
x' = x*gamma - bt;
t' = t*gamma - bx/c2.
Учитывая, что gamma = ch psi и b/c = sh psi, получим преобразования, записанные через параметр быстроты: http://darkenergy.narod.ru/srru3.html
(3)
x' = x ch psi - ct sh psi ;
ct' = ct ch psi - x sh psi.
Запись через быстроту будет почти такой же, но вместо psi пишем rho / с.
(4)
x' = x ch(rho/с) - ct sh(rho/с);
ct' = ct ch(rho/с) - x sh(rho/с).
Перейдем от гиперболических функций вещественного аргумента к тригонометрическим функциям мнимого аргумента по формулам cos(i*psi) = ch(psi); sin(i*psi) = i*sh(psi). Преобразования, которые мы получаем, связывают вещественную координату x и мнимую координату времени в псевдоевклидовом пространстве-времени:
(5)
x' = x cos(i*psi) + ict sin(i*psi) ;
ict' = ict cos(i*psi)i - x sin(i*psi).
Эти преобразования в пространстве-времени почти ничем не отличаются от чисто пространственного поворота:
x' = x cos j + y sin j ;
y' = y cos j - x sin j.
Отличие лишь в том, что чисто пространственный поворот осуществляется на вещественный угол j, а пространственно-временной поворот описывается мнимым углом i*psi.
Поворот в пространстве-времени.
Уравнение окружности в действительной плоскости имеет вид: x2+y2=r2. Мы ясно понимаем, что этим уравнением задается множество точек, расположенных на расстоянии r от начала координат.
Перейдем в комплексную плоскость. Уравнение x2+y2=r2 почти не меняется, за исключением того, что координата "y" становится мнимой, y=ib, а величина r2 при этом может быть как положительным, так и отрицательным числом. А сам радиус будет либо положительным, либо чисто мнимым числом.
Итак, давайте нарисуем четыре гиперболы четырехмерного мира Минковского. Две из них, правая и левая, соответствуют псевдоокружности единичного радиуса. А верхняя и нижняя гиперболы соответствуют псевдоокружности радиуса i.
---рисунок----
Простой подстановкой легко убедиться, что правая и левая гиперболы удовлетворяют уравнению x2+(ict)2=1. Верхняя и нижняя гиперболы удовлетворяют уравнению x2+(ict)2=-1. Квадрат радиуса псевдоокружности, окрашенной голубым цветом, равен единице. Квадрат радиуса зеленой псевдоокружности равен минус единице. А сам радиус является арифметическим корнем от квадрата радиуса, то есть для голубой псевдоокружности он равен единице, а для зеленой псевдоокружности он равен числу i. Визуально нам кажется, что расстояние от центра рисунка до разных точек псевдоокружности различно. Но имеем в виду, что это лишь удобный способ отображения псевдоевклидового пространства-времени на евклидову плоскость. Расстояния (интервалы) на этой плоскости вычисляются по формуле s=sqr((x2-x1)2+(ict2-ict1)2), а если вычисляем расстояние между центром и некоторой произвольной точкой, то s=sqr(x2+(ict)2)
Давайте выясним причину, почему при выполнении пространственно-временных преобразований ортогональные оси x и ict движутся либо навстречу друг другу, либо в разные стороны, но не в одну и ту же сторону.
Это связано с тем, что, если считать углом поворота отношение длины дуги к радиусу, то углы поворотов осей имеют разные знаки. Действительно, кусок дуги на правой гиперболе, окрашенный в темно-зеленый цвет, выражается мнимой величиной Lправый =i*psi, а радиус этой псевдоокружности равен единице. Пускай величина psi будет положительной, тогда ось OX будет поворачиваться против движения часовой стрелки, а поворот будет выражен формулой:
i psi / r = i psi / 1 = i psi.
Возьмем отношение длины дуги к радиусу в верхней гиперболе. Там длина дуги оказывается равной действительной величине psi, а радиус равен числу i. Тогда поворот будет равен отношению
psi / i = - i psi.
То есть, угол поворота оси времени имеет противоположный знак, и эта ось движется навстречу оси OX. Этот поворот не следует воспринимать в привычном для нас смысле, поскольку он описывается мнимой величиной.
Другие замечания.
---
Б. Рисунок построен для скорости v=0,6c. Желтыми линиями показана мировая полоса движущегося стержня длиной один метр. Наклон линий соответствует линиям одновременности в движущейся системе.
В. Анализируя движение точки по гиперболе, замечаем, что отношение v/c всегда будет меньше единицы, в то время как b/c может принимать сколь угодно большие значения. Однако это не означает, что свет можно обогнать, т.к. собственная скорость самого света равна бесконечности. Параметр быстроты psi геометрически представляет собой длину дуги, измеренную в долях c, и показанную на рисунке темно-зеленым цветом. Численно величина psi может превосходить единицу, а rho может превосходить с, но это не противоречит СТО.
Г. Длины темно-зеленых дуг на правой и верхней гиперболе равны друг другу с точностью до множителя i. Оказывается, что удвоенная площадь "сектора", окрашенного на рисунке темным цветом, дает это же число. Эту площадь можно вычислить в евклидовой плоскости, а длины дуг - в псевдоевклидовой. Поскольку в комплексной плоскости мы не можем измерить угол i*psi транспортиром непосредственно, мы можем записать выражения, заменяя величину psi на 2S. То есть, NM=sh(2S), ON=ch(2S), AB=th(2S). Кстати, ордината точки на обычной окружности единичного радиуса есть sin(2S), абсцисса есть cos(2S), ну и точка для tg(2S), расположена на касательной к окружности, подобно точке B, расположенной на касательной к гиперболе.
Д. Выше мы уже записали пять вариантов записи одних и тех же пространственно-временных преобразований. С учетом того, что между измеримым углом f, показанном на рисунке, и неизмеримой длиной дуги psi существует связь, tg f = th psi, мы можем без труда записать преобразования координат через угол, измеримый на рисунке. Для этого вернемся к преобразованиям (3)
x' = x ch psi - ct sh psi ;
ct' = ct ch psi - x sh psi.
Воспользовавшись формулами ch2 y = 1 / (1 - th2 y) и sh2 y = th2 y / (1 - th2 y), tg f = th psi, получим:
(6)
x' = (x - ct tgf) / sqr(1-tg2 f);
ct' = (ct - x tgf) / sqr(1-tg2 f).
--------
Источник находится по адресу: http://darkenergy.narod.ru/srru9.html
Обновил сегодня. Если кто недавно смотрел нажмите кнопку refresh. Это же касается рисунка. http://darkenergy.narod.ru/srru1.gif
Есть ли еще какие-нибудь формы записи преобразований координат в СТО?
Альтернативу не предлагать.
Иван Горелик. |
» Альтернативный форум