: : Рассмотрим формы:
: : S(n,1)=x1+x2+...+xn,
: : S(n,2)=x1x2+x1x3+...+x1xn+...+x(n-1)xn,
: : ...
: : S(n,m)=x1x2...xm+...
: : ...
: : S(n,n)=x1x2...xn
: : - коэффициенты полинома n-ой степени с единицей при x^n, выраженные через корни. Тогда группы линейных преобразований, относительно которых эти формы инвариантны, содержат:
: : S(n,1) - (n-1)2 параметров,
: : S(n,2) - n(n-1)/2 параметров,
: : ....
: : S(n,n) - n параметров.
: :
: : Что интересно, S(4,3) имеет группу линейных преобразований, содержащую 0 параметров. Если откладавать по оси абцис второй аргумент в S(n,m), а по оси ординат число параметров в линейной группе симметрии соответствующей формы, то именно ВПЕРВЫЕ при n=4 S(n,n) соответствует локальному МАКСИМУМУ по параметрам группы симметрии.
: : Всегда ли при n>4 S(n,n) будет соответствовать локальному максимуму? Возможны ли при n>4 для 2<m<n для групп симметрии форм S(n,m) локальные максимумы?
: :
: : С наилучшими пожеланиями!
: : Григорий
: :
:
:
: А Вы не пробовали классифицировать n-формы на предмет допускаемых симметрий?
Не очень ясная постановка.
Но.
Если мы рассмотрим Н(4) с базисом
1,i,j,k=ij=ji;
i2=j2=k2=1,
то можно показать, (кажется, уже не верю в силу своего интеллекта :)), что
автоморфизмами алгебры являются только координатные симметрии в количестве 16=24 штук.
У элементов, полученных такими преобразованиями одно и то же хар.уравнение четвертой (!) (вот они, делители нуля!) степени.
Несмотря на это, не все формы остаются инвариантными под действием таких преобразований. Некоторые меняют знак, что компенсируется сменой знака аргумента при подстановке корня в уравнение.
Классификация автоморфизмов и соответствующих им инвариантных форм, имхо, может быть доведена до конца в случае Dim H(n) = 2^k.
Вроде бы много ума не надо.
В случае произвольной размерности _n_ похоже, что возникают какие-то заморочки, связанные с арифметической природой числа _n_.
Вообще-то интересная задача. |
» Альтернативный форум